E - Loi exponentielle
DurƩe de vie sans vieillissement
Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire ou sans vieillissement ou sans usure.
La probabilité que le phénomène dure un temps sachant qu'il a duré est égale à la probabilité qu'il dure un temps . Ainsi, si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, alors :
Cette modƩlisation est par exemple utilisƩe :
pour la dƩsintƩgration radioactive d'atomes
pour la durƩe de vie de composants Ʃlectroniques
la durée de vie d'une ampoule à LED
Loi exponentielle
On démontre que si une variable aléatoire suit une loi exponentielle, alors il existe un paramètre tel que sa densité, définie sur , est donnée par :
Ainsi, pour ,
On note alors
Proposition
Pour ,
Exemple

Soit , calculer :

Fonction de rƩpartition et Demi-vie
La fonction de rƩpartition d'une variable alƩatoire est donnƩe par :
Si on dispose d'un stock de composants suivants tous une même loi exponentielle, alors on peut interpréter comme la proportion du stock encore présent jusqu'à .
La demi-vie d'un composant est la médiane de sa durée de vie , c'est-à -dire la durée en deçà de laquelle il reste 50 % d'un stock de ce composant.

Exemple
Le plutonium 238 est un ƩlƩment radioactif qui suit une loi exponentielle.
Il possĆØde une demi-vie de 88 ans :
dans un stock de plutonium 238, en raison de sa radioactivitƩ, la moitiƩ du stock s'est dƩsintƩgrƩ, au bout de 88 ans.
un atome de plutonium 238 a une chance sur deux de s'être désintégrer au bout de 88 ans.
Déterminer le paramètre de la loi exponentielle suivie par le plutonium 238 au millième près.
Quelle est la probabilité pour qu'un atome de plutonium 238 se désintègre entre ses 60 et 100 ans ?
Quelle est la probabilité pour qu'un atome de plutonium 238 se désintègre après 150 ans ?
Calculer l'espƩrance de vie du plutonium 238 donnƩe par
Proposition
suit une loi exponentielle de paramĆØtre
EspƩrance de vie
Demi-vie
Ćcart-type
Exercices 8 Ć 12 pages 379-380
Last updated
Was this helpful?