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# E - Loi exponentielle

## **Durée de vie sans vieillissement**

Une **loi exponentielle** modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire ou sans vieillissement ou sans usure.

La probabilité que le phénomène dure un temps $$t+s$$ sachant qu'il a duré $$t$$ est égale à la probabilité qu'il dure un temps $$s$$. Ainsi, si $$X$$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, alors :

$$P\_{X\geqslant t}(X\geqslant t+s)=P(X\geqslant s)$$

Cette modélisation est par exemple utilisée :

* pour la désintégration radioactive d'atomes
* pour la durée de vie de composants électroniques
* la durée de vie d'une ampoule à LED

## **Loi exponentielle**

On démontre que si une variable aléatoire $$X$$ suit une loi exponentielle, alors il existe un paramètre $$\lambda>0$$ tel que sa densité, définie sur $$\[0;;;+\infty\[$$, est donnée par :

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$$

Ainsi, pour $$0\leqslant a\leqslant b$$,

$$P(a\leqslant X\leqslant b)=\int\_a^b\lambda e^{-\lambda x},\text{d}x$$

On note alors

$$X\sim E(\lambda)$$

**Proposition**

Pour $$0\leqslant a\leqslant b$$,

* $$P(a\leqslant X\leqslant b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$$
* $$P(X\leqslant b)=1-e^{-\lambda b}$$
* $$P(a\leqslant X)=e^{-\lambda a}$$

**Exemple**

![loi-expo.png](https://lh3.googleusercontent.com/-Cd0aTEVNJlE/XQID7jtnFtI/AAAAAAAACjE/vxpF6Y19-EcBUUY_tf9tNVPp7eMMx9JXwCLcBGAs/s0/loi-expo.png)

* Soit $$X\sim E(0.1)$$, calculer :
  * $$P(5\leqslant X\leqslant 12)$$
  * $$P(X>10)$$
  * $$P(x\leqslant 3)$$

![expo-numworks.png](https://lh3.googleusercontent.com/-Wf3PUEGqoGY/XQIf1MxKwKI/AAAAAAAACjo/Lim3mNEve_8uxIa5F5cMigdjkxccE0zMACLcBGAs/s0/expo-numworks.png)

#### **Fonction de répartition et Demi-vie**

La fonction de répartition d'une variable aléatoire $$X\sim E(\lambda)$$ est donnée par : $$F:t\mapsto P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t}$$

Si on dispose d'un stock de composants suivants tous une même loi exponentielle, **alors on peut interpréter** $$F(t)$$ **comme la proportion du stock encore présent jusqu'à** $$t$$**.**

La **demi-vie** $$t\_{\text{demi-vie}}$$ d'un composant est la médiane de sa durée de vie , c'est-à-dire la durée en deçà de laquelle il reste 50 % d'un stock de ce composant.

$$P(X\leqslant t\_{\text{demi-vie}})=0,5$$

![demi-vie.png](https://lh3.googleusercontent.com/-WZqnHrl7d0g/XQIEJ4Opl-I/AAAAAAAACjM/46tT5_U82z45RTGqdqb0pY2DxnZHztqpACLcBGAs/s0/demi-vie.png)

**Exemple**

Le plutonium 238 est un élément radioactif qui suit une loi exponentielle.

Il possède une demi-vie de 88 ans :

* dans un stock de plutonium 238, en raison de sa radioactivité, la moitié du stock s'est désintégré, au bout de 88 ans.
* un atome de plutonium 238 a une chance sur deux de s'être désintégrer au bout de 88 ans.
* Déterminer le paramètre $$\lambda$$ de la loi exponentielle suivie par le plutonium 238 au millième près.
* Quelle est la probabilité pour qu'un atome de plutonium 238 se désintègre entre ses 60 et 100 ans ?
* Quelle est la probabilité pour qu'un atome de plutonium 238 se désintègre après 150 ans ?
* Calculer l'espérance de vie du plutonium 238 donnée par $$E(X)=\int\_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x},\text{d}x$$

**Proposition**

$$X$$ suit une loi exponentielle de paramètre $$\lambda>0$$ $$X\sim E(\lambda)$$

* **Espérance de vie**  $$\qquad E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$
* **Demi-vie** $$\qquad t\_{\text{demi-vie}}=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}=\ln(2)\times E(X)$$
* **Écart-type** $$\qquad \sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$

**Exercices 8 à 12 pages 379-380**