E - Loi exponentielle

DurƩe de vie sans vieillissement

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire ou sans vieillissement ou sans usure.

La probabilité que le phénomène dure un temps t+st+s sachant qu'il a duré tt est égale à la probabilité qu'il dure un temps ss. Ainsi, si XX est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, alors :

PX⩾t(X⩾t+s)=P(X⩾s)P_{X\geqslant t}(X\geqslant t+s)=P(X\geqslant s)

Cette modƩlisation est par exemple utilisƩe :

  • pour la dĆ©sintĆ©gration radioactive d'atomes

  • pour la durĆ©e de vie de composants Ć©lectroniques

  • la durĆ©e de vie d'une ampoule Ć  LED

Loi exponentielle

On dĆ©montre que si une variable alĆ©atoire XX suit une loi exponentielle, alors il existe un paramĆØtre Ī»>0\lambda>0 tel que sa densitĆ©, dĆ©finie sur [0ā€…ā€Š;ā€…ā€Š+āˆž[[0\;;\;+\infty[, est donnĆ©e par :

f(x)=Ī»eāˆ’Ī»xf(x)=\lambda e^{-\lambda x}

Ainsi, pour 0⩽a⩽b0\leqslant a\leqslant b,

P(a⩽X⩽b)=∫abĪ»eāˆ’Ī»x dxP(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^b\lambda e^{-\lambda x}\,\text{d}x

On note alors

X∼E(λ)X\sim E(\lambda)

Proposition

Pour 0⩽a⩽b0\leqslant a\leqslant b,

  • P(a⩽X⩽b)=eāˆ’Ī»aāˆ’eāˆ’Ī»bP(a\leqslant X\leqslant b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}

  • P(X⩽b)=1āˆ’eāˆ’Ī»bP(X\leqslant b)=1-e^{-\lambda b}

  • P(a⩽X)=eāˆ’Ī»aP(a\leqslant X)=e^{-\lambda a}

Exemple

loi-expo.png
  • Soit X∼E(0.1)X\sim E(0.1), calculer :

    • P(5⩽X⩽12)P(5\leqslant X\leqslant 12)

    • P(X>10)P(X>10)

    • P(x⩽3)P(x\leqslant 3)

expo-numworks.png

Fonction de rƩpartition et Demi-vie

La fonction de rĆ©partition d'une variable alĆ©atoire X∼E(Ī»)X\sim E(\lambda) est donnĆ©e par : F:t↦P(X⩽t)=1āˆ’eāˆ’Ī»tF:t\mapsto P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t}

Si on dispose d'un stock de composants suivants tous une même loi exponentielle, alors on peut interpréter F(t)F(t) comme la proportion du stock encore présent jusqu'à tt.

La demi-vie tdemi-viet_{\text{demi-vie}} d'un composant est la mƩdiane de sa durƩe de vie , c'est-Ơ-dire la durƩe en deƧƠ de laquelle il reste 50 % d'un stock de ce composant.

P(X⩽tdemi-vie)=0,5P(X\leqslant t_{\text{demi-vie}})=0,5

demi-vie.png

Exemple

Le plutonium 238 est un ƩlƩment radioactif qui suit une loi exponentielle.

Il possĆØde une demi-vie de 88 ans :

  • dans un stock de plutonium 238, en raison de sa radioactivitĆ©, la moitiĆ© du stock s'est dĆ©sintĆ©grĆ©, au bout de 88 ans.

  • un atome de plutonium 238 a une chance sur deux de s'ĆŖtre dĆ©sintĆ©grer au bout de 88 ans.

  • DĆ©terminer le paramĆØtre Ī»\lambda de la loi exponentielle suivie par le plutonium 238 au milliĆØme prĆØs.

  • Quelle est la probabilitĆ© pour qu'un atome de plutonium 238 se dĆ©sintĆØgre entre ses 60 et 100 ans ?

  • Quelle est la probabilitĆ© pour qu'un atome de plutonium 238 se dĆ©sintĆØgre aprĆØs 150 ans ?

  • Calculer l'espĆ©rance de vie du plutonium 238 donnĆ©e par E(X)=∫0+āˆžĪ»xeāˆ’Ī»x dxE(X)=\int_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x}\,\text{d}x

Proposition

XX suit une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda>0 X∼E(λ)X\sim E(\lambda)

  • EspĆ©rance de vie E(X)=1Ī»\qquad E(X)=\dfrac{1}{\lambda}

  • Demi-vie tdemi-vie=ln⁔(2)Ī»=ln⁔(2)ƗE(X)\qquad t_{\text{demi-vie}}=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}=\ln(2)\times E(X)

  • Ɖcart-type σ(X)=1Ī»\qquad \sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}

Exercices 8 Ć  12 pages 379-380

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