Pourquoi des matrices ?
Un problème ...
Facile !
Remarquons que
Ainsi on cherche à résoudre
Ainsi
Le calcul matriciel
Exemples
Multiplication d'une matrice par un réel
Exercices 3 à 5 page 283
Exercice 19 page 286
Inversion d'une matrice carré
La matrice identité
Exemples
Vérifier par le calcul puis à la calculatrice pour obtenir directement l'inverse
Exercices A5 et A6 page 277
Exercices 8, 9, 11, 12 pages 283-284
Exercices 6 et 7 page 283
Résolution de systèmes et applications
Exercices 13 à 15 page 284
Un problème de coût : exercice 20 page 286
★ \bigstar ★ x x x
2 − 1 × 2 x = 2 − 1 × 3 2^{-1}\times 2x=2^{-1}\times 3 2 − 1 × 2 x = 2 − 1 × 3
★ \bigstar ★ x x x y y y
{ 3 x + 2 y = − 1 5 x + 4 y = 8 \left\{\begin{array}{l}3x+2y=-1\\5x+4y=8\\\end{array}\right. { 3 x + 2 y = − 1 5 x + 4 y = 8
( 3 2 5 4 ) ( x y ) = ( 3 x + 2 y 5 x + 4 y ) \left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}3x+2y\\5x+4y\end{array}\right) ( 3 5 2 4 ) ( x y ) = ( 3 x + 2 y 5 x + 4 y )
( 3 2 5 4 ) ( x y ) = ( − 1 8 ) \left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right) ( 3 5 2 4 ) ( x y ) = ( − 1 8 )
Appelons A A A matrice carrée :
A = ( 3 2 5 4 ) A=\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right) A = ( 3 5 2 4 )
à l'aide de la calculatrice, calculons la matrice inverse de A A A
A − 1 = ( 2 − 1 − 2 , 5 1 , 5 ) A^{-1}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right) A − 1 = ( 2 − 2 , 5 − 1 1 , 5 )
Calculons A − 1 × A A^{-1}\times A A − 1 × A
( 2 − 1 − 2 , 5 1 , 5 ) ( 3 2 5 4 ) = ( 2 × 3 + ( − 1 ) × 5 2 × 2 + ( − 1 ) × 4 ( − 2 , 5 ) × 3 + 1 , 5 × 5 ( − 2 , 5 ) × 2 + 1 , 5 × 4 ) \left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times3+(-1)\times5&&2\times2+(-1)\times4\\(-2,5)\times3+1,5\times5&&(-2,5)\times2+1,5\times4\\\end{array}\right) ( 2 − 2 , 5 − 1 1 , 5 ) ( 3 5 2 4 ) = ( 2 × 3 + ( − 1 ) × 5 ( − 2 , 5 ) × 3 + 1 , 5 × 5 2 × 2 + ( − 1 ) × 4 ( − 2 , 5 ) × 2 + 1 , 5 × 4 )
( 2 − 1 − 2 , 5 1 , 5 ) ( 3 2 5 4 ) = ( 1 0 0 1 ) \left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}1&&0\\0&&1\\\end{array}\right) ( 2 − 2 , 5 − 1 1 , 5 ) ( 3 5 2 4 ) = ( 1 0 0 1 )
( 2 − 1 − 2 , 5 1 , 5 ) × ( 3 2 5 4 ) ( x y ) = ( 2 − 1 − 2 , 5 1 , 5 ) × ( − 1 8 ) \left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right) ( 2 − 2 , 5 − 1 1 , 5 ) × ( 3 5 2 4 ) ( x y ) = ( 2 − 2 , 5 − 1 1 , 5 ) × ( − 1 8 )
( 1 0 0 1 ) ( x y ) = ( 2 − 1 − 2 , 5 1 , 5 ) × ( − 1 8 ) \left(\begin{array}{c}1&&0\\0&&1\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right) ( 1 0 0 1 ) ( x y ) = ( 2 − 2 , 5 − 1 1 , 5 ) × ( − 1 8 )
( x y ) = ( 2 × ( − 1 ) + ( − 1 ) × 8 ( − 2 , 5 ) × ( − 1 ) + 1 , 5 × 8 ) {\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times(-1)+(-1)\times8\\(-2,5)\times(-1)+1,5\times 8\\\end{array}\right) ( x y ) = ( 2 × ( − 1 ) + ( − 1 ) × 8 ( − 2 , 5 ) × ( − 1 ) + 1 , 5 × 8 )
( x y ) = ( − 10 14 , 5 ) {\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-10\\14,5\\\end{array}\right) ( x y ) = ( − 10 14 , 5 )
( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ 1 ⋯ 0 0 ⋯ 1 ) \left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right) 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ 1 ⋯ 0 0 ⋯ 1
Rechercher l'inverse d'une matrice carrée A A A A − 1 A^{-1} A − 1 A − 1 × A = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ 1 ⋯ 0 0 ⋯ 1 ) A^{-1}\times A=\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right) A − 1 × A = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ 1 ⋯ 0 0 ⋯ 1
A = ( 2 3 − 3 − 5 ) A=\left(\begin{array}{c}2&&3\\-3&&-5\\\end{array}\right) A = ( 2 − 3 3 − 5 ) A − 1 = ( 5 3 − 3 − 2 ) A^{-1}=\left(\begin{array}{c}5&&3\\-3&&-2\\\end{array}\right) A − 1 = ( 5 − 3 3 − 2 )
B = ( − 1 2 1 0 1 0 2 0 − 1 ) B=\left(\begin{array}{c}-1&&2&&1\\0&&1&&0\\2&&0&&-1\\\end{array}\right) B = − 1 0 2 2 1 0 1 0 − 1 B − 1 = ( 1 − 2 1 0 1 0 2 − 4 1 ) B^{-1}=\left(\begin{array}{c}1&&-2&&1\\0&&1&&0\\2&&-4&&1\\\end{array}\right) B − 1 = 1 0 2 − 2 1 − 4 1 0 1
C = ( 2 ) C=\left(\begin{array}{c}2\\\end{array}\right) C = ( 2 ) C − 1 = ( 0 , 5 ) C^{-1}=\left(\begin{array}{c}0,5\\\end{array}\right) C − 1 = ( 0 , 5 )
