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# 4. Calcul matriciel #2
## **Pourquoi des matrices ?**
## **Un problème ...**
$$\bigstar$$ Cherchons $$x$$ tel que
$$2x=3$$
Facile !
$$2^{-1}\times 2x=2^{-1}\times 3$$
$$x=\dfrac{3}{2}$$
$$\bigstar$$ Cherchons $$x$$ et $$y$$ tels que
$$\left{\begin{array}{l}3x+2y=-1\5x+4y=8\\\end{array}\right.$$
Remarquons que
$$\left(\begin{array}{c}3&2\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}3x+2y\5x+4y\end{array}\right)$$
Ainsi on cherche à résoudre
$$\left(\begin{array}{c}3&2\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-1\8\end{array}\right)$$
Appelons $$A$$ la **matrice carrée** :
$$A=\left(\begin{array}{c}3&2\5&4\\\end{array}\right)$$
à l'aide de la calculatrice, calculons la **matrice inverse** de $$A$$ :
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)$$
Calculons $$A^{-1}\times A$$ :
$$\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times3+(-1)\times5&&2\times2+(-1)\times4\\(-2,5)\times3+1,5\times5&&(-2,5)\times2+1,5\times4\\\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}1&&0\0&&1\\\end{array}\right)$$
Ainsi
$$\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3&2\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\8\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c}1&&0\0&&1\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\8\end{array}\right)$$
$${\left(\begin{array}{c}x\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times(-1)+(-1)\times8\\(-2,5)\times(-1)+1,5\times 8\\\end{array}\right)$$
$${\left(\begin{array}{c}x\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-10\14,5\\\end{array}\right)$$
## **Le calcul matriciel**
#### **Exemples**
* Addition de matrices
* Multiplication d'une matrice par un réel
* Produit de matrices
**Exercices 3 à 5 page 283**
**Exercice 19 page 286**
#### **Inversion d'une matrice carré**
**La matrice identité**
$$\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right)$$
Rechercher l'inverse d'une matrice carrée $$A$$, c'est trouver, quand c'est possible (ce n'est pas toujours le cas), une matrice carrée notée $$A^{-1}$$ tel que $$A^{-1}\times A=\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right)$$
**Exemples**
Vérifier par le calcul puis à la calculatrice pour obtenir directement l'inverse
* $$A=\left(\begin{array}{c}2&&3\\-3&&-5\\\end{array}\right)$$ et $$A^{-1}=\left(\begin{array}{c}5&&3\\-3&&-2\\\end{array}\right)$$
* $$B=\left(\begin{array}{c}-1&&2&&1\0&&1&&0\2&&0&&-1\\\end{array}\right)$$ et $$B^{-1}=\left(\begin{array}{c}1&&-2&&1\0&&1&&0\2&&-4&&1\\\end{array}\right)$$
* $$C=\left(\begin{array}{c}2\\\end{array}\right)$$ et $$C^{-1}=\left(\begin{array}{c}0,5\\\end{array}\right)$$
{% file src="/files/sbZzhuqZUR4kx7k9BVV7" %}
**Exercices A5 et A6 page 277**
**Exercices 8, 9, 11, 12 pages 283-284**
**Exercices 6 et 7 page 283**
## **Résolution de systèmes et applications**
**Exercices 13 à 15 page 284**
**Un problème de coût : exercice 20 page 286**