4. Calcul matriciel #2

Pourquoi des matrices ?

Un problème ...

$\bigstar$ Cherchons $x$ tel que

$2x=3$

Facile !

$2^{-1}\times 2x=2^{-1}\times 3$

$x=\dfrac{3}{2}$

$\bigstar$ Cherchons $x$ et $y$ tels que

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=-1\\5x+4y=8\\\end{array}\right.$

Remarquons que

$\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}3x+2y\\5x+4y\end{array}\right)$

Ainsi on cherche à résoudre

$\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right)$

Appelons $A$ la matrice carrée :

$A=\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)$

à l'aide de la calculatrice, calculons la matrice inverse de $A$ :

inverse.png

$A^{-1}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)$

Calculons $A^{-1}\times A$ :

$\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times3+(-1)\times5&&2\times2+(-1)\times4\\(-2,5)\times3+1,5\times5&&(-2,5)\times2+1,5\times4\\\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}1&&0\\0&&1\\\end{array}\right)$

Ainsi

$\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}1&&0\\0&&1\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times(-1)+(-1)\times8\\(-2,5)\times(-1)+1,5\times 8\\\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-10\\14,5\\\end{array}\right)$

Le calcul matriciel

Exemples

• Addition de matrices

• Multiplication d'une matrice par un réel

• Produit de matrices

Exercices 3 à 5 page 283

Exercice 19 page 286

Inversion d'une matrice carré

La matrice identité

$\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right)$

Rechercher l'inverse d'une matrice carrée $A$, c'est trouver, quand c'est possible (ce n'est pas toujours le cas), une matrice carrée notée $A^{-1}$ tel que $A^{-1}\times A=\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right)$

Exemples

Vérifier par le calcul puis à la calculatrice pour obtenir directement l'inverse

• $A=\left(\begin{array}{c}2&&3\\-3&&-5\\\end{array}\right)$ et $A^{-1}=\left(\begin{array}{c}5&&3\\-3&&-2\\\end{array}\right)$

• $B=\left(\begin{array}{c}-1&&2&&1\\0&&1&&0\\2&&0&&-1\\\end{array}\right)$ et $B^{-1}=\left(\begin{array}{c}1&&-2&&1\\0&&1&&0\\2&&-4&&1\\\end{array}\right)$

• $C=\left(\begin{array}{c}2\\\end{array}\right)$ et $C^{-1}=\left(\begin{array}{c}0,5\\\end{array}\right)$

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Exercices A5 et A6 page 277

Exercices 8, 9, 11, 12 pages 283-284

Exercices 6 et 7 page 283

Résolution de systèmes et applications

Exercices 13 à 15 page 284

Un problème de coût : exercice 20 page 286