4. Calcul matriciel #2

Pourquoi des matrices ?

Un problème ...

\bigstar Cherchons xx tel que

2x=32x=3

Facile !

21×2x=21×32^{-1}\times 2x=2^{-1}\times 3

x=32x=\dfrac{3}{2}

\bigstar Cherchons xx et yy tels que

{3x+2y=15x+4y=8\left\{\begin{array}{l}3x+2y=-1\\5x+4y=8\\\end{array}\right.

Remarquons que

(3254)(xy)=(3x+2y5x+4y)\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}3x+2y\\5x+4y\end{array}\right)

Ainsi on cherche à résoudre

(3254)(xy)=(18)\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right)

Appelons AA la matrice carrée :

A=(3254)A=\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)

à l'aide de la calculatrice, calculons la matrice inverse de AA :

inverse.png

A1=(212,51,5)A^{-1}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)

Calculons A1×AA^{-1}\times A :

(212,51,5)(3254)=(2×3+(1)×52×2+(1)×4(2,5)×3+1,5×5(2,5)×2+1,5×4)\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times3+(-1)\times5&&2\times2+(-1)\times4\\(-2,5)\times3+1,5\times5&&(-2,5)\times2+1,5\times4\\\end{array}\right)

(212,51,5)(3254)=(1001)\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}1&&0\\0&&1\\\end{array}\right)

Ainsi

(212,51,5)×(3254)(xy)=(212,51,5)×(18)\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3&2\\5&4\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right)

(1001)(xy)=(212,51,5)×(18)\left(\begin{array}{c}1&&0\\0&&1\\\end{array}\right)^{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2&-1\\-2,5&1,5\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\8\end{array}\right)

(xy)=(2×(1)+(1)×8(2,5)×(1)+1,5×8){\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}2\times(-1)+(-1)\times8\\(-2,5)\times(-1)+1,5\times 8\\\end{array}\right)

(xy)=(1014,5){\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-10\\14,5\\\end{array}\right)

Le calcul matriciel

Exemples

  • Addition de matrices

  • Multiplication d'une matrice par un réel

  • Produit de matrices

Exercices 3 à 5 page 283

Exercice 19 page 286

Inversion d'une matrice carré

La matrice identité

(1000101001)\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right)

Rechercher l'inverse d'une matrice carrée AA, c'est trouver, quand c'est possible (ce n'est pas toujours le cas), une matrice carrée notée A1A^{-1} tel que A1×A=(1000101001)A^{-1}\times A=\left(\begin{array}{c}1&&0&&\cdots&&0\\0&&1&&\cdots&&0\\\cdots&&\cdots&&1&&\cdots\\0&&0&&\cdots&&1\\\end{array}\right)

Exemples

Vérifier par le calcul puis à la calculatrice pour obtenir directement l'inverse

  • A=(2335)A=\left(\begin{array}{c}2&&3\\-3&&-5\\\end{array}\right) et A1=(5332)A^{-1}=\left(\begin{array}{c}5&&3\\-3&&-2\\\end{array}\right)

  • B=(121010201)B=\left(\begin{array}{c}-1&&2&&1\\0&&1&&0\\2&&0&&-1\\\end{array}\right) et B1=(121010241)B^{-1}=\left(\begin{array}{c}1&&-2&&1\\0&&1&&0\\2&&-4&&1\\\end{array}\right)

  • C=(2)C=\left(\begin{array}{c}2\\\end{array}\right) et C1=(0,5)C^{-1}=\left(\begin{array}{c}0,5\\\end{array}\right)

Exercices A5 et A6 page 277

Exercices 8, 9, 11, 12 pages 283-284

Exercices 6 et 7 page 283

Résolution de systèmes et applications

Exercices 13 à 15 page 284

Un problème de coût : exercice 20 page 286

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