# 7. Transformée en Z

## **Pré-requis et objectifs**

* **Pré-requis**
  * Suites numériques et suites géométriques
  * Décomposition en éléments simples

**Exercices 1 à 5 page 264**

* **Théorie**
  * Série entière
  * Signal causal - Définition, représentation
  * Transformées en $$Z$$ des signaux causaux usuels
  * Calculer la transformée en $$Z$$ de signaux causaux
  * Retrouver le signal causal d'une transformée en $$Z$$ 
* **Application**
  * Étudier une suite récurrente linéaire à l'aide de la transformée en $$Z$$

## **Introduction**

**Exercice**

1. Calculer la somme $$S = 1+0,5+0,5^2+0,5^3+\cdots$$
2. Trouver $$q\in]-1;;;1\[$$ tel que $$1+q+q^2+q^3+\cdots\approx5$$
3. Que valent les limites suivantes ?
   1. $$\lim\_{n\to+\infty}0,5^n$$
   2. $$\lim\_{n\to+\infty}3^n$$
   3. $$\lim\_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{7}\right)^n$$

## **Séries entières**

Rappelons la formule de la somme de termes consécutifs de la suite géométrique $$(q^n)\_{n\geqslant 0}$$ :

$$1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

En prenant $$q=t\in]-1;;;1\[$$ et en faisant tendre $$n$$ vers $$+\infty$$, il vient $$\lim\_{n\to+\infty}\dfrac{1-t^{n+1}}{1-t}=\dfrac{1}{1-t}$$ car $$\lim\_{n\to+\infty}t^n=0$$

Ainsi $$\sum\_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots=\dfrac{1}{1-t}$$

On dit que $$\sum\_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots$$ est le **développement en série entière** de $$t\mapsto\dfrac{1}{1-t}$$ sur $$]-1;;1\[$$.

**Exercice**

1. On note $$n!=1\times 2\times3\cdots\times n$$ et $$0!=1$$
   1. Calculer $$3!$$ et $$5!$$
   2. Que vaut $$n!\times (n+1)$$ ?
2. 1. Calculer la somme $$S=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{6!}$$
   2. Que peut-on conjecturer pour $$\sum\_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1^n}{n!}$$

**Définition**

Une série entière se définit à l'aide d'une suite réelle ou complexe $$(a\_n)$$ par

$$S(t)=\sum\_{n\geqslant 0}^{+\infty}a\_nt^n$$

*Approximatif mais suffisant :* Son **rayon** de convergence est "le plus petit" réel $$R$$ tel que si $$|t|\<R$$ alors la série converge. Si la série converge pour tout $$|t|$$ alors $$R=+\infty$$

**Exemples**

* $$\sum\_{n=0}^{+\infty}t^n$$ est une série entière de rayon de convergence 1.
* $$\sum\_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^n}{n!}$$ est une série entière de rayon de convergence $$+\infty$$.

## **Signal causal**

**Définitions**

* Un signal est dit **discret** s'il est défini pour les entiers.  Lorsque l'on échantillonne un signal continu, on obtient un signal discret.
* Un signal discret **causal** est un signal discret qui est nul pour $$n<0$$.

**Exemple**

Représenter ces signaux causaux :&#x20;

* $$S\_1:n\mapsto\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\sin{(n)}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$
* $$S\_2:n\mapsto\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\0,5^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$
* $$S\_3:n\mapsto\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\dfrac{1}{n+1}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$
* $$S\_4:n\mapsto\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\3^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$

![](https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2FR9xhB42OiWyGxT9VCuhd%2Fimage.png?alt=media\&token=a0c1fa18-0bd2-46ca-bbd0-4c3422136b29)

{% hint style="success" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/gcygyueh)
{% endhint %}

**Exercice 6 page 264**

#### **Signaux causaux de référence**

* Le **signal échelon unité** $$e(n)$$ ou $$\mathcal U(n)$$ : $$e(n)=\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\1\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$
* Le **signal de Dirac (impulsion unité)** $$\delta(n)$$ : $$\delta(n)=\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n\neq0\1\text{ si }n=0\\\end{array}\right.$$
* Le **signal "rampe"** : $$n\times e(n)$$ : $$n\mapsto\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$
* Le **signal "carré"** : $$n^2\times e(n)$$ : $$n\mapsto \left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\n^2\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$
* Le **signal "exponentiel"** : $$a^n\times e(n)$$ : $$n\mapsto\left{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\a^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$$

## **Transformée en Z d'un signal causal**

$$\text{Signal causal}\longleftrightarrow\text{Série entière}$$

$$x(n)\longleftrightarrow X(z)$$

$$Z : \text{ la suite }x\longrightarrow \text{ la fonction } X$$

$$Z^{-1} : \text{ la fonction }X\longrightarrow \text{ la suite }x$$

Soit $$x(n)$$ un signal causal. On définit **sa transformée en** $$Z$$ par la série entière :

$$X:z\mapsto\sum\_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$$

**On note** $$Z(x\mapsto x(n)) = X: z\mapsto \sum\_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$$&#x20;

**ou bien** $$(Zx)(z)=\sum\_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$$&#x20;

**ou encore (pour aller plus vite)** $$X(z)=\sum\_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$$

<mark style="color:green;">**Exercice :**</mark>&#x20;

<figure><img src="https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2FNKcMHMDhdkyn21N1i4BG%2Fimage.png?alt=media&#x26;token=84cbad12-c644-43bc-b542-b154cba7c6a2" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

#### **Transformées en Z des signaux causaux usuels**

|    Signal causal   |         Transformée        |
| :----------------: | :------------------------: |
|      $$e(n)$$      |     $$\dfrac{z}{z-1}$$     |
|   $$\delta{(n)}$$  |            $$1$$           |
|  $$n\times e(n)$$  |    $$\frac{z}{(z-1)^2}$$   |
| $$n^2\times e(n)$$ | $$\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$$ |
| $$a^n\times e(n)$$ |     $$\dfrac{z}{z-a}$$     |

**Exercice 7 page 264**

**Deux démonstrations**

* **Transformée du signal rampe :**
  * Calculer $$(n+2)-2(n+1)+n$$
  * Soit $$S=\sum\_{n\geqslant 0}^{+\infty}n\times z^{-n}$$Démontrer que $$z^2\times S-2z\times S+S=z^2$$
  * En déduire que $$S=\dfrac{z^2}{(z-1)^2}$$
* **Transformée du signal carré :**
  * Calculer $$(n+3)^2-3(n+2)^2+3(n+1)^2-n^2$$
  * Soit $$S=\sum\_{n\geqslant 0}^{+\infty}n^2\times z^{-n}$$Démontrer que $$z^3\times S-3z^2\times S+3z\times S-S=z^2+z$$
  * En déduire que $$S=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$$

#### **Propriétés**

Avec $$Z(n\mapsto x(n)):z\mapsto X(z)$$, on a

* $$Z(n\mapsto a^n\times x\_n):z\mapsto X\left(\dfrac{z}{a}\right)$$
* **Retard :**$$Z(n\mapsto x(n-n\_0)):z\mapsto \dfrac{1}{z^{n\_0}}\times X(z)$$
* **Avance de 1 :**$$Z(n\mapsto x(n+1)):z\mapsto z\times (X(z)-x(0))$$
* **Avance de 2 :**$$Z(n\mapsto x(n+2)):z\mapsto z^2\times \left(X(z)-x(0)-\dfrac{x(1)}{z}\right)$$
* La transformée en $$Z$$ est **linéaire** :

  $$Z\left(a\times x(n)+b\times y(n)\right)=a\times Z(x(n))+b\times Z(y(n))$$

#### **Exemples**

$$n\mapsto u(n)$$ est un signal causal discret. On note sa transformée $$Z(u)=U(z)$$. \
Déterminer la transformée en $$Z$$ des signaux causaux :

* $$v(n)=u(n)+2u(n-1)e(n-1)+u(n-2)e(n-2)$$
* $$w(n)=7u(n+2)e(n+2)-u(n+1)e(n+1)+3u(n-1)e(n-1)$$
* $$t(n)=-0,5^n\times u(n)$$

**Exercices 8 à 12 page 264-265**

#### **Transformée en Z inverse**

Chacune des fonctions suivantes est la transformée en $$Z$$ d'un signal discret causal. Retrouver ces signaux :

* $$X(z)=\dfrac{5z}{z-1}+\dfrac{z}{z-7}$$
* $$Y(z)=3-\dfrac{z}{(z-1)^2}$$
* $$T(z)=\dfrac{4z^2-z}{z^2+z-2}$$

**Exercices 13 à 17 page 265**

## **GeoGebra**

{% hint style="success" %}
[**https://www.geogebra.org/calculator**](https://www.geogebra.org/calculator)
{% endhint %}

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## **Applications**

La transformée en $$Z$$ peut permettre de trouver *l'expression explicite* d'une suite récurrente !

#### **Exemple #1**

$$x$$ est un signal causal discret défini par $$x(n)+2x(n-1)=e(n)$$

* On peut calculer $$x(0)$$ car $$x(0)+2x(-1)=e(0)\Longrightarrow x(0)=1$$.
* On peut calculer $$x(1)$$ car $$x(1)+2x(0)=e(1)\Longrightarrow x(1)=-1$$.
* On peut calculer $$x(2)$$ car $$x(2)+2x(1)=e(2)\Longrightarrow x(2)=3$$.
* On peut calculer $$x(3)$$ car $$x(3)+2x(2)=e(2)\Longrightarrow x(3)=-5$$.

Que vaut $$x(1984)$$ ? On peut continuer le processus de proche en proche et atteindre $$x(1984)$$ ...

Mais on peut aussi utiliser la transformée en $$Z$$ :

On note $$X(z)$$ la transformée en $$Z$$ de $$x(n)$$. \
Comme $$x(n)+2x(n-1)=e(n)$$ il vient $$X(z)+2\times \dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{z-1}$$

Ainsi

$$X(z)\left(1+\dfrac{2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}$$

$$X(z)\left(\dfrac{z+2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}$$

$$X(z)=\dfrac{z}{z-1}\times\dfrac{z}{z+2}$$

$$\dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}$$

Il faut maintenant effectuer la **décomposition en éléments simples** de la fraction rationnelle

$$\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}$$

On obtient alors :

$$\dfrac{1}{3(z-1)} + \dfrac{2}{3(z + 2)}$$

et donc :

$$X(z)=\dfrac{z}{3(z-1)} + \dfrac{2z}{3(z + 2)}$$

Reste à appliquer la transformé en $$Z$$ **inverse** :

$$x(n)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}(-2)^n\right)e(n)$$

**Exercices 20, 22, 23 page 265**

#### **Exemple #2**

Soit $$(u\_n)$$ la suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par

$$\left{\begin{array}{l}u\_{n+2}=-u\_{n+1}+6u\_{n}\u\_0=3\u\_1=1\\\end{array}\right.$$

On assimile la suite $$(u\_n)$$ à un signal discret causal $$u(n)$$ de transformée en $$Z$$, $$U(z)$$.

$$u\_{n+2}=-u\_{n+1}+6u\_{n}$$

$$z^2\times(U(z)-u(0)-\dfrac{u(1)}{z})=-z\times(U(z)-u(0))+6U(z)$$

$$z^2\times(U(z)-3-\dfrac{1}{z})=-z\times(U(z)-3)+6U(z)$$

$$(z^2+z-6)U(z)=3z^2+4z$$

$$U(z)=\dfrac{3z^2+4z}{z^2+z-6}$$

$$\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{3z+4}{z^2+z-6}$$

Après décomposition en éléments simples, on obtient :

$$\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{1}{z+3}+\dfrac{2}{z-2}$$

$$U(z)=\dfrac{z}{z+3}+\dfrac{2z}{z-2}$$

Reste à appliquer la transformé en $$Z$$ **inverse** :

$$u(n)=(-3)^n+2\times 2^n$$

**Exercice**

En appliquant la même méthode, retrouver l'expression explicite de la suite $$(v\_n)$$définie par :

$$\left{\begin{array}{l}v\_{n+2}=5v\_{n+1}-6v\_{n}\v\_1=4\v\_0=1\\\end{array}\right.$$

{% tabs %}
{% tab title="Caché" %}
![](https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2F8sq57fLJs3W29hNRcnWu%2Fhide.png?alt=media\&token=d0657e2c-25bb-4a9e-badc-6ed69105fd31)
{% endtab %}

{% tab title="Correction" %}
![](https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2FO3b7P44netvTIcpUVuEz%2FImage.jpeg?alt=media\&token=d36e8286-9c8d-49b8-bcf9-a75dea6171d1)
{% endtab %}
{% endtabs %}

#### **Training**

* **Exercice EA1 page 262**
* **Exercices 24, 25, 26 et 27 page 267-268**

<figure><img src="https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2FfUkFf0LijCRaQvrPuQR8%2Fpage%201.jpg?alt=media&#x26;token=c4d4d5c6-3fdb-42a7-b99f-f3738ea13d72" alt=""><figcaption><p>page 264</p></figcaption></figure>

<figure><img src="https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2F2VVgxTmi9aVqAJ9uCxkk%2Fpage%202.jpg?alt=media&#x26;token=2118e8e4-da87-43fa-a18b-56e234327816" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

<figure><img src="https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2Fuw1dVD10izeHt9lTiXlV%2Fpage%203.jpg?alt=media&#x26;token=de00656e-10c8-42be-bf73-ababfcd5ed34" alt=""><figcaption></figcaption></figure>