7. Transformée en Z

Pré-requis et objectifs

  • Pré-requis

    • Suites numériques et suites géométriques

    • Décomposition en éléments simples

Exercices 1 à 5 page 264

  • Théorie

    • Série entière

    • Signal causal - Définition, représentation

    • Transformées en ZZ des signaux causaux usuels

    • Calculer la transformée en ZZ de signaux causaux

    • Retrouver le signal causal d'une transformée en ZZ

  • Application

    • Étudier une suite récurrente linéaire à l'aide de la transformée en ZZ

Introduction

Exercice

  1. Calculer la somme S=1+0,5+0,52+0,53+S = 1+0,5+0,5^2+0,5^3+\cdots

  2. Trouver q]1  ;  1[q\in]-1\;;\;1[ tel que 1+q+q2+q3+51+q+q^2+q^3+\cdots\approx5

  3. Que valent les limites suivantes ?

    1. limn+0,5n\lim_{n\to+\infty}0,5^n

    2. limn+3n\lim_{n\to+\infty}3^n

    3. limn+(17)n\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{7}\right)^n

Séries entières

Rappelons la formule de la somme de termes consécutifs de la suite géométrique (qn)n0(q^n)_{n\geqslant 0} :

1+q+q2++qn=1qn+11q1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

En prenant q=t]1  ;  1[q=t\in]-1\;;\;1[ et en faisant tendre nn vers ++\infty, il vient limn+1tn+11t=11t\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1-t^{n+1}}{1-t}=\dfrac{1}{1-t} car limn+tn=0\lim_{n\to+\infty}t^n=0

Ainsi n=0+tn=1+t+t2+t3+=11t\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots=\dfrac{1}{1-t}

On dit que n=0+tn=1+t+t2+t3+\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots est le développement en série entière de t11tt\mapsto\dfrac{1}{1-t} sur ]1  ;1[]-1\;;1[.

Exercice

  1. On note n!=1×2×3×nn!=1\times 2\times3\cdots\times n et 0!=10!=1

    1. Calculer 3!3! et 5!5!

    2. Que vaut n!×(n+1)n!\times (n+1) ?

    1. Calculer la somme S=10!+11!+12!+13!++16!S=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{6!}

    2. Que peut-on conjecturer pour n=0+1nn!\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1^n}{n!}

Définition

Une série entière se définit à l'aide d'une suite réelle ou complexe (an)(a_n) par

S(t)=n0+antnS(t)=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}a_nt^n

Approximatif mais suffisant : Son rayon de convergence est "le plus petit" réel RR tel que si t<R|t|<R alors la série converge. Si la série converge pour tout t|t| alors R=+R=+\infty

Exemples

  • n=0+tn\sum_{n=0}^{+\infty}t^n est une série entière de rayon de convergence 1.

  • n=0+tnn!\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^n}{n!} est une série entière de rayon de convergence ++\infty.

Signal causal

Définitions

  • Un signal est dit discret s'il est défini pour les entiers. Lorsque l'on échantillonne un signal continu, on obtient un signal discret.

  • Un signal discret causal est un signal discret qui est nul pour n<0n<0.

Exemple

Représenter ces signaux causaux :

  • S1:n{0 si n<0sin(n) si n0S_1:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\sin{(n)}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

  • S2:n{0 si n<00,5n si n0S_2:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\0,5^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

  • S3:n{0 si n<01n+1 si n0S_3:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\dfrac{1}{n+1}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

  • S4:n{0 si n<03n si n0S_4:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\3^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

Exercice 6 page 264

Signaux causaux de référence

  • Le signal échelon unité e(n)e(n) ou U(n)\mathcal U(n) : e(n)={0 si n<01 si n0e(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\1\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

  • Le signal de Dirac (impulsion unité) δ(n)\delta(n) : δ(n)={0 si n01 si n=0\delta(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n\neq0\\1\text{ si }n=0\\\end{array}\right.

  • Le signal "rampe" : n×e(n)n\times e(n) : n{0 si n<0n si n0n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

  • Le signal "carré" : n2×e(n)n^2\times e(n) : n{0 si n<0n2 si n0n\mapsto \left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n^2\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

  • Le signal "exponentiel" : an×e(n)a^n\times e(n) : n{0 si n<0an si n0n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\a^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.

Transformée en Z d'un signal causal

Signal causalSeˊrie entieˋre\text{Signal causal}\longleftrightarrow\text{Série entière}

x(n)X(z)x(n)\longleftrightarrow X(z)

Z: la suite x la fonction XZ : \text{ la suite }x\longrightarrow \text{ la fonction } X

Z1: la fonction X la suite xZ^{-1} : \text{ la fonction }X\longrightarrow \text{ la suite }x

Soit x(n)x(n) un signal causal. On définit sa transformée en ZZ par la série entière :

X:zn=0+x(n)×znX:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}

On note Z(xx(n))=X:zn=0+x(n)×znZ(x\mapsto x(n)) = X: z\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}

ou bien (Zx)(z)=n=0+x(n)×zn(Zx)(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}

ou encore (pour aller plus vite) X(z)=n=0+x(n)×znX(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}

Exercice :

Transformées en Z des signaux causaux usuels

Signal causal

Transformée

e(n)e(n)

zz1\dfrac{z}{z-1}

δ(n)\delta{(n)}

11

n×e(n)n\times e(n)

z(z1)2\frac{z}{(z-1)^2}

n2×e(n)n^2\times e(n)

z(z+1)(z1)3\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}

an×e(n)a^n\times e(n)

zza\dfrac{z}{z-a}

Exercice 7 page 264

Deux démonstrations

  • Transformée du signal rampe :

    • Calculer (n+2)2(n+1)+n(n+2)-2(n+1)+n

    • Soit S=n0+n×znS=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n\times z^{-n}Démontrer que z2×S2z×S+S=z2z^2\times S-2z\times S+S=z^2

    • En déduire que S=z2(z1)2S=\dfrac{z^2}{(z-1)^2}

  • Transformée du signal carré :

    • Calculer (n+3)23(n+2)2+3(n+1)2n2(n+3)^2-3(n+2)^2+3(n+1)^2-n^2

    • Soit S=n0+n2×znS=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n^2\times z^{-n}Démontrer que z3×S3z2×S+3z×SS=z2+zz^3\times S-3z^2\times S+3z\times S-S=z^2+z

    • En déduire que S=z(z+1)(z1)3S=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}

Propriétés

Avec Z(nx(n)):zX(z)Z(n\mapsto x(n)):z\mapsto X(z), on a

  • Z(nan×xn):zX(za)Z(n\mapsto a^n\times x_n):z\mapsto X\left(\dfrac{z}{a}\right)

  • Retard :Z(nx(nn0)):z1zn0×X(z)Z(n\mapsto x(n-n_0)):z\mapsto \dfrac{1}{z^{n_0}}\times X(z)

  • Avance de 1 :Z(nx(n+1)):zz×(X(z)x(0))Z(n\mapsto x(n+1)):z\mapsto z\times (X(z)-x(0))

  • Avance de 2 :Z(nx(n+2)):zz2×(X(z)x(0)x(1)z)Z(n\mapsto x(n+2)):z\mapsto z^2\times \left(X(z)-x(0)-\dfrac{x(1)}{z}\right)

  • La transformée en ZZ est linéaire :

    Z(a×x(n)+b×y(n))=a×Z(x(n))+b×Z(y(n))Z\left(a\times x(n)+b\times y(n)\right)=a\times Z(x(n))+b\times Z(y(n))

Exemples

nu(n)n\mapsto u(n) est un signal causal discret. On note sa transformée Z(u)=U(z)Z(u)=U(z). Déterminer la transformée en ZZ des signaux causaux :

  • v(n)=u(n)+2u(n1)e(n1)+u(n2)e(n2)v(n)=u(n)+2u(n-1)e(n-1)+u(n-2)e(n-2)

  • w(n)=7u(n+2)e(n+2)u(n+1)e(n+1)+3u(n1)e(n1)w(n)=7u(n+2)e(n+2)-u(n+1)e(n+1)+3u(n-1)e(n-1)

  • t(n)=0,5n×u(n)t(n)=-0,5^n\times u(n)

Exercices 8 à 12 page 264-265

Transformée en Z inverse

Chacune des fonctions suivantes est la transformée en ZZ d'un signal discret causal. Retrouver ces signaux :

  • X(z)=5zz1+zz7X(z)=\dfrac{5z}{z-1}+\dfrac{z}{z-7}

  • Y(z)=3z(z1)2Y(z)=3-\dfrac{z}{(z-1)^2}

  • T(z)=4z2zz2+z2T(z)=\dfrac{4z^2-z}{z^2+z-2}

Exercices 13 à 17 page 265

GeoGebra

Applications

La transformée en ZZ peut permettre de trouver l'expression explicite d'une suite récurrente !

Exemple #1

xx est un signal causal discret défini par x(n)+2x(n1)=e(n)x(n)+2x(n-1)=e(n)

  • On peut calculer x(0)x(0) car x(0)+2x(1)=e(0)x(0)=1x(0)+2x(-1)=e(0)\Longrightarrow x(0)=1.

  • On peut calculer x(1)x(1) car x(1)+2x(0)=e(1)x(1)=1x(1)+2x(0)=e(1)\Longrightarrow x(1)=-1.

  • On peut calculer x(2)x(2) car x(2)+2x(1)=e(2)x(2)=3x(2)+2x(1)=e(2)\Longrightarrow x(2)=3.

  • On peut calculer x(3)x(3) car x(3)+2x(2)=e(2)x(3)=5x(3)+2x(2)=e(2)\Longrightarrow x(3)=-5.

Que vaut x(1984)x(1984) ? On peut continuer le processus de proche en proche et atteindre x(1984)x(1984) ...

Mais on peut aussi utiliser la transformée en ZZ :

On note X(z)X(z) la transformée en ZZ de x(n)x(n). Comme x(n)+2x(n1)=e(n)x(n)+2x(n-1)=e(n) il vient X(z)+2×X(z)z=zz1X(z)+2\times \dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{z-1}

Ainsi

X(z)(1+2z)=zz1X(z)\left(1+\dfrac{2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}

X(z)(z+2z)=zz1X(z)\left(\dfrac{z+2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}

X(z)=zz1×zz+2X(z)=\dfrac{z}{z-1}\times\dfrac{z}{z+2}

X(z)z=z(z1)(z+2)\dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}

Il faut maintenant effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

z(z1)(z+2)\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}

On obtient alors :

13(z1)+23(z+2)\dfrac{1}{3(z-1)} + \dfrac{2}{3(z + 2)}

et donc :

X(z)=z3(z1)+2z3(z+2)X(z)=\dfrac{z}{3(z-1)} + \dfrac{2z}{3(z + 2)}

Reste à appliquer la transformé en ZZ inverse :

x(n)=(13+23(2)n)e(n)x(n)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}(-2)^n\right)e(n)

Exercices 20, 22, 23 page 265

Exemple #2

Soit (un)(u_n) la suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par

{un+2=un+1+6unu0=3u1=1\left\{\begin{array}{l}u_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}\\u_0=3\\u_1=1\\\end{array}\right.

On assimile la suite (un)(u_n) à un signal discret causal u(n)u(n) de transformée en ZZ, U(z)U(z).

un+2=un+1+6unu_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}

z2×(U(z)u(0)u(1)z)=z×(U(z)u(0))+6U(z)z^2\times(U(z)-u(0)-\dfrac{u(1)}{z})=-z\times(U(z)-u(0))+6U(z)

z2×(U(z)31z)=z×(U(z)3)+6U(z)z^2\times(U(z)-3-\dfrac{1}{z})=-z\times(U(z)-3)+6U(z)

(z2+z6)U(z)=3z2+4z(z^2+z-6)U(z)=3z^2+4z

U(z)=3z2+4zz2+z6U(z)=\dfrac{3z^2+4z}{z^2+z-6}

U(z)z=3z+4z2+z6\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{3z+4}{z^2+z-6}

Après décomposition en éléments simples, on obtient :

U(z)z=1z+3+2z2\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{1}{z+3}+\dfrac{2}{z-2}

U(z)=zz+3+2zz2U(z)=\dfrac{z}{z+3}+\dfrac{2z}{z-2}

Reste à appliquer la transformé en ZZ inverse :

u(n)=(3)n+2×2nu(n)=(-3)^n+2\times 2^n

Exercice

En appliquant la même méthode, retrouver l'expression explicite de la suite (vn)(v_n)définie par :

{vn+2=5vn+16vnv1=4v0=1\left\{\begin{array}{l}v_{n+2}=5v_{n+1}-6v_{n}\\v_1=4\\v_0=1\\\end{array}\right.

Training

  • Exercice EA1 page 262

  • Exercices 24, 25, 26 et 27 page 267-268

page 264

Last updated

Was this helpful?