Pré-requis et objectifs
Pré-requis
Suites numériques et suites géométriques
Décomposition en éléments simples
Exercices 1 à 5 page 264
Théorie
Signal causal - Définition, représentation
Transformées en Z Z Z
Calculer la transformée en Z Z Z
Retrouver le signal causal d'une transformée en Z Z Z
Application
Étudier une suite récurrente linéaire à l'aide de la transformée en Z Z Z
Introduction
Exercice
Calculer la somme S = 1 + 0 , 5 + 0 , 5 2 + 0 , 5 3 + ⋯ S = 1+0,5+0,5^2+0,5^3+\cdots S = 1 + 0 , 5 + 0 , 5 2 + 0 , 5 3 + ⋯
Trouver q ∈ ] − 1 ; 1 [ q\in]-1\;;\;1[ q ∈ ] − 1 ; 1 [ 1 + q + q 2 + q 3 + ⋯ ≈ 5 1+q+q^2+q^3+\cdots\approx5 1 + q + q 2 + q 3 + ⋯ ≈ 5
Que valent les limites suivantes ?
lim n → + ∞ 0 , 5 n \lim_{n\to+\infty}0,5^n lim n → + ∞ 0 , 5 n
lim n → + ∞ 3 n \lim_{n\to+\infty}3^n lim n → + ∞ 3 n
lim n → + ∞ ( 1 7 ) n \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{7}\right)^n lim n → + ∞ ( 7 1 ) n
Séries entières
Rappelons la formule de la somme de termes consécutifs de la suite géométrique ( q n ) n ⩾ 0 (q^n)_{n\geqslant 0} ( q n ) n ⩾ 0
1 + q + q 2 + ⋯ + q n = 1 − q n + 1 1 − q 1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} 1 + q + q 2 + ⋯ + q n = 1 − q 1 − q n + 1
En prenant q = t ∈ ] − 1 ; 1 [ q=t\in]-1\;;\;1[ q = t ∈ ] − 1 ; 1 [ n n n + ∞ +\infty + ∞ lim n → + ∞ 1 − t n + 1 1 − t = 1 1 − t \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1-t^{n+1}}{1-t}=\dfrac{1}{1-t} lim n → + ∞ 1 − t 1 − t n + 1 = 1 − t 1 lim n → + ∞ t n = 0 \lim_{n\to+\infty}t^n=0 lim n → + ∞ t n = 0
Ainsi ∑ n = 0 + ∞ t n = 1 + t + t 2 + t 3 + ⋯ = 1 1 − t \sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots=\dfrac{1}{1-t} ∑ n = 0 + ∞ t n = 1 + t + t 2 + t 3 + ⋯ = 1 − t 1
On dit que ∑ n = 0 + ∞ t n = 1 + t + t 2 + t 3 + ⋯ \sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots ∑ n = 0 + ∞ t n = 1 + t + t 2 + t 3 + ⋯ développement en série entière de t ↦ 1 1 − t t\mapsto\dfrac{1}{1-t} t ↦ 1 − t 1 ] − 1 ; 1 [ ]-1\;;1[ ] − 1 ; 1 [
Exercice
On note n ! = 1 × 2 × 3 ⋯ × n n!=1\times 2\times3\cdots\times n n ! = 1 × 2 × 3 ⋯ × n 0 ! = 1 0!=1 0 ! = 1
Calculer 3 ! 3! 3 ! 5 ! 5! 5 !
Que vaut n ! × ( n + 1 ) n!\times (n+1) n ! × ( n + 1 )
Calculer la somme S = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ + 1 6 ! S=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{6!} S = 0 ! 1 + 1 ! 1 + 2 ! 1 + 3 ! 1 + ⋯ + 6 ! 1
Que peut-on conjecturer pour ∑ n = 0 + ∞ 1 n n ! \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1^n}{n!} ∑ n = 0 + ∞ n ! 1 n
Définition
Une série entière se définit à l'aide d'une suite réelle ou complexe ( a n ) (a_n) ( a n )
S ( t ) = ∑ n ⩾ 0 + ∞ a n t n S(t)=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}a_nt^n S ( t ) = ∑ n ⩾ 0 + ∞ a n t n
Approximatif mais suffisant : Son rayon de convergence est "le plus petit" réel R R R ∣ t ∣ < R |t|<R ∣ t ∣ < R ∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ R = + ∞ R=+\infty R = + ∞
Exemples
∑ n = 0 + ∞ t n \sum_{n=0}^{+\infty}t^n ∑ n = 0 + ∞ t n
∑ n = 0 + ∞ t n n ! \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^n}{n!} ∑ n = 0 + ∞ n ! t n + ∞ +\infty + ∞
Signal causal
Définitions
Un signal est dit discret s'il est défini pour les entiers. Lorsque l'on échantillonne un signal continu, on obtient un signal discret.
Un signal discret causal est un signal discret qui est nul pour n < 0 n<0 n < 0
Exemple
Représenter ces signaux causaux :
S 1 : n ↦ { 0 si n < 0 sin ( n ) si n ⩾ 0 S_1:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\sin{(n)}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. S 1 : n ↦ { 0 si n < 0 sin ( n ) si n ⩾ 0
S 2 : n ↦ { 0 si n < 0 0 , 5 n si n ⩾ 0 S_2:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\0,5^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. S 2 : n ↦ { 0 si n < 0 0 , 5 n si n ⩾ 0
S 3 : n ↦ { 0 si n < 0 1 n + 1 si n ⩾ 0 S_3:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\dfrac{1}{n+1}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. S 3 : n ↦ { 0 si n < 0 n + 1 1 si n ⩾ 0
S 4 : n ↦ { 0 si n < 0 3 n si n ⩾ 0 S_4:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\3^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. S 4 : n ↦ { 0 si n < 0 3 n si n ⩾ 0
Exercice 6 page 264
Signaux causaux de référence
Le signal échelon unité e ( n ) e(n) e ( n ) U ( n ) \mathcal U(n) U ( n ) e ( n ) = { 0 si n < 0 1 si n ⩾ 0 e(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\1\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. e ( n ) = { 0 si n < 0 1 si n ⩾ 0
Le signal de Dirac (impulsion unité) δ ( n ) \delta(n) δ ( n ) δ ( n ) = { 0 si n ≠ 0 1 si n = 0 \delta(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n\neq0\\1\text{ si }n=0\\\end{array}\right. δ ( n ) = { 0 si n = 0 1 si n = 0
Le signal "rampe" : n × e ( n ) n\times e(n) n × e ( n ) n ↦ { 0 si n < 0 n si n ⩾ 0 n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. n ↦ { 0 si n < 0 n si n ⩾ 0
Le signal "carré" : n 2 × e ( n ) n^2\times e(n) n 2 × e ( n ) n ↦ { 0 si n < 0 n 2 si n ⩾ 0 n\mapsto \left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n^2\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. n ↦ { 0 si n < 0 n 2 si n ⩾ 0
Le signal "exponentiel" : a n × e ( n ) a^n\times e(n) a n × e ( n ) n ↦ { 0 si n < 0 a n si n ⩾ 0 n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\a^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right. n ↦ { 0 si n < 0 a n si n ⩾ 0
Transformée en Z d'un signal causal
Signal causal ⟷ S e ˊ rie enti e ˋ re \text{Signal causal}\longleftrightarrow\text{Série entière} Signal causal ⟷ S e ˊ rie enti e ˋ re
x ( n ) ⟷ X ( z ) x(n)\longleftrightarrow X(z) x ( n ) ⟷ X ( z )
Z : la suite x ⟶ la fonction X Z : \text{ la suite }x\longrightarrow \text{ la fonction } X Z : la suite x ⟶ la fonction X
Z − 1 : la fonction X ⟶ la suite x Z^{-1} : \text{ la fonction }X\longrightarrow \text{ la suite }x Z − 1 : la fonction X ⟶ la suite x
Soit x ( n ) x(n) x ( n ) sa transformée en Z Z Z
X : z ↦ ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n X:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n} X : z ↦ ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n
On note Z ( x ↦ x ( n ) ) = X : z ↦ ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n Z(x\mapsto x(n)) = X: z\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n} Z ( x ↦ x ( n )) = X : z ↦ ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n
ou bien ( Z x ) ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n (Zx)(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n} ( Z x ) ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n
ou encore (pour aller plus vite) X ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n} X ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ x ( n ) × z − n
Exercice :
Transformées en Z des signaux causaux usuels
Exercice 7 page 264
Deux démonstrations
Transformée du signal rampe :
Calculer ( n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) + n (n+2)-2(n+1)+n ( n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) + n
Soit S = ∑ n ⩾ 0 + ∞ n × z − n S=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n\times z^{-n} S = ∑ n ⩾ 0 + ∞ n × z − n z 2 × S − 2 z × S + S = z 2 z^2\times S-2z\times S+S=z^2 z 2 × S − 2 z × S + S = z 2
En déduire que S = z 2 ( z − 1 ) 2 S=\dfrac{z^2}{(z-1)^2} S = ( z − 1 ) 2 z 2
Transformée du signal carré :
Calculer ( n + 3 ) 2 − 3 ( n + 2 ) 2 + 3 ( n + 1 ) 2 − n 2 (n+3)^2-3(n+2)^2+3(n+1)^2-n^2 ( n + 3 ) 2 − 3 ( n + 2 ) 2 + 3 ( n + 1 ) 2 − n 2
Soit S = ∑ n ⩾ 0 + ∞ n 2 × z − n S=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n^2\times z^{-n} S = ∑ n ⩾ 0 + ∞ n 2 × z − n z 3 × S − 3 z 2 × S + 3 z × S − S = z 2 + z z^3\times S-3z^2\times S+3z\times S-S=z^2+z z 3 × S − 3 z 2 × S + 3 z × S − S = z 2 + z
En déduire que S = z ( z + 1 ) ( z − 1 ) 3 S=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3} S = ( z − 1 ) 3 z ( z + 1 )
Propriétés
Avec Z ( n ↦ x ( n ) ) : z ↦ X ( z ) Z(n\mapsto x(n)):z\mapsto X(z) Z ( n ↦ x ( n )) : z ↦ X ( z )
Z ( n ↦ a n × x n ) : z ↦ X ( z a ) Z(n\mapsto a^n\times x_n):z\mapsto X\left(\dfrac{z}{a}\right) Z ( n ↦ a n × x n ) : z ↦ X ( a z )
Retard : Z ( n ↦ x ( n − n 0 ) ) : z ↦ 1 z n 0 × X ( z ) Z(n\mapsto x(n-n_0)):z\mapsto \dfrac{1}{z^{n_0}}\times X(z) Z ( n ↦ x ( n − n 0 )) : z ↦ z n 0 1 × X ( z )
Avance de 1 : Z ( n ↦ x ( n + 1 ) ) : z ↦ z × ( X ( z ) − x ( 0 ) ) Z(n\mapsto x(n+1)):z\mapsto z\times (X(z)-x(0)) Z ( n ↦ x ( n + 1 )) : z ↦ z × ( X ( z ) − x ( 0 ))
Avance de 2 : Z ( n ↦ x ( n + 2 ) ) : z ↦ z 2 × ( X ( z ) − x ( 0 ) − x ( 1 ) z ) Z(n\mapsto x(n+2)):z\mapsto z^2\times \left(X(z)-x(0)-\dfrac{x(1)}{z}\right) Z ( n ↦ x ( n + 2 )) : z ↦ z 2 × ( X ( z ) − x ( 0 ) − z x ( 1 ) )
La transformée en Z Z Z linéaire :
Z ( a × x ( n ) + b × y ( n ) ) = a × Z ( x ( n ) ) + b × Z ( y ( n ) ) Z\left(a\times x(n)+b\times y(n)\right)=a\times Z(x(n))+b\times Z(y(n)) Z ( a × x ( n ) + b × y ( n ) ) = a × Z ( x ( n )) + b × Z ( y ( n ))
Exemples
n ↦ u ( n ) n\mapsto u(n) n ↦ u ( n ) Z ( u ) = U ( z ) Z(u)=U(z) Z ( u ) = U ( z ) Z Z Z
v ( n ) = u ( n ) + 2 u ( n − 1 ) e ( n − 1 ) + u ( n − 2 ) e ( n − 2 ) v(n)=u(n)+2u(n-1)e(n-1)+u(n-2)e(n-2) v ( n ) = u ( n ) + 2 u ( n − 1 ) e ( n − 1 ) + u ( n − 2 ) e ( n − 2 )
w ( n ) = 7 u ( n + 2 ) e ( n + 2 ) − u ( n + 1 ) e ( n + 1 ) + 3 u ( n − 1 ) e ( n − 1 ) w(n)=7u(n+2)e(n+2)-u(n+1)e(n+1)+3u(n-1)e(n-1) w ( n ) = 7 u ( n + 2 ) e ( n + 2 ) − u ( n + 1 ) e ( n + 1 ) + 3 u ( n − 1 ) e ( n − 1 )
t ( n ) = − 0 , 5 n × u ( n ) t(n)=-0,5^n\times u(n) t ( n ) = − 0 , 5 n × u ( n )
Exercices 8 à 12 page 264-265
Transformée en Z inverse
Chacune des fonctions suivantes est la transformée en Z Z Z
X ( z ) = 5 z z − 1 + z z − 7 X(z)=\dfrac{5z}{z-1}+\dfrac{z}{z-7} X ( z ) = z − 1 5 z + z − 7 z
Y ( z ) = 3 − z ( z − 1 ) 2 Y(z)=3-\dfrac{z}{(z-1)^2} Y ( z ) = 3 − ( z − 1 ) 2 z
T ( z ) = 4 z 2 − z z 2 + z − 2 T(z)=\dfrac{4z^2-z}{z^2+z-2} T ( z ) = z 2 + z − 2 4 z 2 − z
Exercices 13 à 17 page 265
GeoGebra
Applications
La transformée en Z Z Z l'expression explicite d'une suite récurrente !
Exemple #1
x x x x ( n ) + 2 x ( n − 1 ) = e ( n ) x(n)+2x(n-1)=e(n) x ( n ) + 2 x ( n − 1 ) = e ( n )
On peut calculer x ( 0 ) x(0) x ( 0 ) x ( 0 ) + 2 x ( − 1 ) = e ( 0 ) ⟹ x ( 0 ) = 1 x(0)+2x(-1)=e(0)\Longrightarrow x(0)=1 x ( 0 ) + 2 x ( − 1 ) = e ( 0 ) ⟹ x ( 0 ) = 1
On peut calculer x ( 1 ) x(1) x ( 1 ) x ( 1 ) + 2 x ( 0 ) = e ( 1 ) ⟹ x ( 1 ) = − 1 x(1)+2x(0)=e(1)\Longrightarrow x(1)=-1 x ( 1 ) + 2 x ( 0 ) = e ( 1 ) ⟹ x ( 1 ) = − 1
On peut calculer x ( 2 ) x(2) x ( 2 ) x ( 2 ) + 2 x ( 1 ) = e ( 2 ) ⟹ x ( 2 ) = 3 x(2)+2x(1)=e(2)\Longrightarrow x(2)=3 x ( 2 ) + 2 x ( 1 ) = e ( 2 ) ⟹ x ( 2 ) = 3
On peut calculer x ( 3 ) x(3) x ( 3 ) x ( 3 ) + 2 x ( 2 ) = e ( 2 ) ⟹ x ( 3 ) = − 5 x(3)+2x(2)=e(2)\Longrightarrow x(3)=-5 x ( 3 ) + 2 x ( 2 ) = e ( 2 ) ⟹ x ( 3 ) = − 5
Que vaut x ( 1984 ) x(1984) x ( 1984 ) x ( 1984 ) x(1984) x ( 1984 )
Mais on peut aussi utiliser la transformée en Z Z Z
On note X ( z ) X(z) X ( z ) Z Z Z x ( n ) x(n) x ( n ) x ( n ) + 2 x ( n − 1 ) = e ( n ) x(n)+2x(n-1)=e(n) x ( n ) + 2 x ( n − 1 ) = e ( n ) X ( z ) + 2 × X ( z ) z = z z − 1 X(z)+2\times \dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{z-1} X ( z ) + 2 × z X ( z ) = z − 1 z
Ainsi
X ( z ) ( 1 + 2 z ) = z z − 1 X(z)\left(1+\dfrac{2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1} X ( z ) ( 1 + z 2 ) = z − 1 z
X ( z ) ( z + 2 z ) = z z − 1 X(z)\left(\dfrac{z+2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1} X ( z ) ( z z + 2 ) = z − 1 z
X ( z ) = z z − 1 × z z + 2 X(z)=\dfrac{z}{z-1}\times\dfrac{z}{z+2} X ( z ) = z − 1 z × z + 2 z
X ( z ) z = z ( z − 1 ) ( z + 2 ) \dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{(z-1)(z+2)} z X ( z ) = ( z − 1 ) ( z + 2 ) z
Il faut maintenant effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle
z ( z − 1 ) ( z + 2 ) \dfrac{z}{(z-1)(z+2)} ( z − 1 ) ( z + 2 ) z
On obtient alors :
1 3 ( z − 1 ) + 2 3 ( z + 2 ) \dfrac{1}{3(z-1)} + \dfrac{2}{3(z + 2)} 3 ( z − 1 ) 1 + 3 ( z + 2 ) 2
et donc :
X ( z ) = z 3 ( z − 1 ) + 2 z 3 ( z + 2 ) X(z)=\dfrac{z}{3(z-1)} + \dfrac{2z}{3(z + 2)} X ( z ) = 3 ( z − 1 ) z + 3 ( z + 2 ) 2 z
Reste à appliquer la transformé en Z Z Z inverse :
x ( n ) = ( 1 3 + 2 3 ( − 2 ) n ) e ( n ) x(n)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}(-2)^n\right)e(n) x ( n ) = ( 3 1 + 3 2 ( − 2 ) n ) e ( n )
Exercices 20, 22, 23 page 265
Exemple #2
Soit ( u n ) (u_n) ( u n )
{ u n + 2 = − u n + 1 + 6 u n u 0 = 3 u 1 = 1 \left\{\begin{array}{l}u_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}\\u_0=3\\u_1=1\\\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ u n + 2 = − u n + 1 + 6 u n u 0 = 3 u 1 = 1
On assimile la suite ( u n ) (u_n) ( u n ) u ( n ) u(n) u ( n ) Z Z Z U ( z ) U(z) U ( z )
u n + 2 = − u n + 1 + 6 u n u_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n} u n + 2 = − u n + 1 + 6 u n
z 2 × ( U ( z ) − u ( 0 ) − u ( 1 ) z ) = − z × ( U ( z ) − u ( 0 ) ) + 6 U ( z ) z^2\times(U(z)-u(0)-\dfrac{u(1)}{z})=-z\times(U(z)-u(0))+6U(z) z 2 × ( U ( z ) − u ( 0 ) − z u ( 1 ) ) = − z × ( U ( z ) − u ( 0 )) + 6 U ( z )
z 2 × ( U ( z ) − 3 − 1 z ) = − z × ( U ( z ) − 3 ) + 6 U ( z ) z^2\times(U(z)-3-\dfrac{1}{z})=-z\times(U(z)-3)+6U(z) z 2 × ( U ( z ) − 3 − z 1 ) = − z × ( U ( z ) − 3 ) + 6 U ( z )
( z 2 + z − 6 ) U ( z ) = 3 z 2 + 4 z (z^2+z-6)U(z)=3z^2+4z ( z 2 + z − 6 ) U ( z ) = 3 z 2 + 4 z
U ( z ) = 3 z 2 + 4 z z 2 + z − 6 U(z)=\dfrac{3z^2+4z}{z^2+z-6} U ( z ) = z 2 + z − 6 3 z 2 + 4 z
U ( z ) z = 3 z + 4 z 2 + z − 6 \dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{3z+4}{z^2+z-6} z U ( z ) = z 2 + z − 6 3 z + 4
Après décomposition en éléments simples, on obtient :
U ( z ) z = 1 z + 3 + 2 z − 2 \dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{1}{z+3}+\dfrac{2}{z-2} z U ( z ) = z + 3 1 + z − 2 2
U ( z ) = z z + 3 + 2 z z − 2 U(z)=\dfrac{z}{z+3}+\dfrac{2z}{z-2} U ( z ) = z + 3 z + z − 2 2 z
Reste à appliquer la transformé en Z Z Z inverse :
u ( n ) = ( − 3 ) n + 2 × 2 n u(n)=(-3)^n+2\times 2^n u ( n ) = ( − 3 ) n + 2 × 2 n
Exercice
En appliquant la même méthode, retrouver l'expression explicite de la suite ( v n ) (v_n) ( v n )
{ v n + 2 = 5 v n + 1 − 6 v n v 1 = 4 v 0 = 1 \left\{\begin{array}{l}v_{n+2}=5v_{n+1}-6v_{n}\\v_1=4\\v_0=1\\\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ v n + 2 = 5 v n + 1 − 6 v n v 1 = 4 v 0 = 1
Training
Exercices 24, 25, 26 et 27 page 267-268
