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  • Pré-requis et objectifs
  • Introduction
  • Séries entières
  • Signal causal
  • Transformée en Z d'un signal causal
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  • Applications

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  1. Cours

7. Transformée en Z

Pré-requis et objectifs

  • Pré-requis

    • Suites numériques et suites géométriques

    • Décomposition en éléments simples

Exercices 1 à 5 page 264

  • Théorie

    • Série entière

    • Signal causal - Définition, représentation

    • Transformées en ZZZ des signaux causaux usuels

    • Calculer la transformée en ZZZ de signaux causaux

    • Retrouver le signal causal d'une transformée en ZZZ

  • Application

    • Étudier une suite récurrente linéaire à l'aide de la transformée en ZZZ

Introduction

Exercice

  1. Calculer la somme S=1+0,5+0,52+0,53+⋯S = 1+0,5+0,5^2+0,5^3+\cdotsS=1+0,5+0,52+0,53+⋯

  2. Trouver q∈]−1  ;  1[q\in]-1\;;\;1[q∈]−1;1[ tel que 1+q+q2+q3+⋯≈51+q+q^2+q^3+\cdots\approx51+q+q2+q3+⋯≈5

  3. Que valent les limites suivantes ?

    1. lim⁡n→+∞0,5n\lim_{n\to+\infty}0,5^nlimn→+∞​0,5n

    2. lim⁡n→+∞3n\lim_{n\to+\infty}3^nlimn→+∞​3n

    3. lim⁡n→+∞(17)n\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{7}\right)^nlimn→+∞​(71​)n

Séries entières

Rappelons la formule de la somme de termes consécutifs de la suite géométrique (qn)n⩾0(q^n)_{n\geqslant 0}(qn)n⩾0​ :

1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}1+q+q2+⋯+qn=1−q1−qn+1​

En prenant q=t∈]−1  ;  1[q=t\in]-1\;;\;1[q=t∈]−1;1[ et en faisant tendre nnn vers +∞+\infty+∞, il vient lim⁡n→+∞1−tn+11−t=11−t\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1-t^{n+1}}{1-t}=\dfrac{1}{1-t}limn→+∞​1−t1−tn+1​=1−t1​ car lim⁡n→+∞tn=0\lim_{n\to+\infty}t^n=0limn→+∞​tn=0

Ainsi ∑n=0+∞tn=1+t+t2+t3+⋯=11−t\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots=\dfrac{1}{1-t}∑n=0+∞​tn=1+t+t2+t3+⋯=1−t1​

On dit que ∑n=0+∞tn=1+t+t2+t3+⋯\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots∑n=0+∞​tn=1+t+t2+t3+⋯ est le développement en série entière de t↦11−tt\mapsto\dfrac{1}{1-t}t↦1−t1​ sur ]−1  ;1[]-1\;;1[]−1;1[.

Exercice

  1. On note n!=1×2×3⋯×nn!=1\times 2\times3\cdots\times nn!=1×2×3⋯×n et 0!=10!=10!=1

    1. Calculer 3!3!3! et 5!5!5!

    2. Que vaut n!×(n+1)n!\times (n+1)n!×(n+1) ?

    1. Calculer la somme S=10!+11!+12!+13!+⋯+16!S=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{6!}S=0!1​+1!1​+2!1​+3!1​+⋯+6!1​

    2. Que peut-on conjecturer pour ∑n=0+∞1nn!\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1^n}{n!}∑n=0+∞​n!1n​

Définition

Une série entière se définit à l'aide d'une suite réelle ou complexe (an)(a_n)(an​) par

S(t)=∑n⩾0+∞antnS(t)=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}a_nt^nS(t)=∑n⩾0+∞​an​tn

Approximatif mais suffisant : Son rayon de convergence est "le plus petit" réel RRR tel que si ∣t∣<R|t|<R∣t∣<R alors la série converge. Si la série converge pour tout ∣t∣|t|∣t∣ alors R=+∞R=+\inftyR=+∞

Exemples

  • ∑n=0+∞tn\sum_{n=0}^{+\infty}t^n∑n=0+∞​tn est une série entière de rayon de convergence 1.

  • ∑n=0+∞tnn!\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^n}{n!}∑n=0+∞​n!tn​ est une série entière de rayon de convergence +∞+\infty+∞.

Signal causal

Définitions

  • Un signal est dit discret s'il est défini pour les entiers. Lorsque l'on échantillonne un signal continu, on obtient un signal discret.

  • Un signal discret causal est un signal discret qui est nul pour n<0n<0n<0.

Exemple

Représenter ces signaux causaux :

  • S1:n↦{0 si n<0sin⁡(n) si n⩾0S_1:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\sin{(n)}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.S1​:n↦{0 si n<0sin(n) si n⩾0​

  • S2:n↦{0 si n<00,5n si n⩾0S_2:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\0,5^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.S2​:n↦{0 si n<00,5n si n⩾0​

  • S3:n↦{0 si n<01n+1 si n⩾0S_3:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\dfrac{1}{n+1}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.S3​:n↦{0 si n<0n+11​ si n⩾0​

  • S4:n↦{0 si n<03n si n⩾0S_4:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\3^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.S4​:n↦{0 si n<03n si n⩾0​

Exercice 6 page 264

Signaux causaux de référence

  • Le signal échelon unité e(n)e(n)e(n) ou U(n)\mathcal U(n)U(n) : e(n)={0 si n<01 si n⩾0e(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\1\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.e(n)={0 si n<01 si n⩾0​

  • Le signal de Dirac (impulsion unité) δ(n)\delta(n)δ(n) : δ(n)={0 si n≠01 si n=0\delta(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n\neq0\\1\text{ si }n=0\\\end{array}\right.δ(n)={0 si n=01 si n=0​

  • Le signal "rampe" : n×e(n)n\times e(n)n×e(n) : n↦{0 si n<0n si n⩾0n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.n↦{0 si n<0n si n⩾0​

  • Le signal "carré" : n2×e(n)n^2\times e(n)n2×e(n) : n↦{0 si n<0n2 si n⩾0n\mapsto \left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n^2\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.n↦{0 si n<0n2 si n⩾0​

  • Le signal "exponentiel" : an×e(n)a^n\times e(n)an×e(n) : n↦{0 si n<0an si n⩾0n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\a^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.n↦{0 si n<0an si n⩾0​

Transformée en Z d'un signal causal

Signal causal⟷Seˊrie entieˋre\text{Signal causal}\longleftrightarrow\text{Série entière}Signal causal⟷Seˊrie entieˋre

x(n)⟷X(z)x(n)\longleftrightarrow X(z)x(n)⟷X(z)

Z: la suite x⟶ la fonction XZ : \text{ la suite }x\longrightarrow \text{ la fonction } XZ: la suite x⟶ la fonction X

Z−1: la fonction X⟶ la suite xZ^{-1} : \text{ la fonction }X\longrightarrow \text{ la suite }xZ−1: la fonction X⟶ la suite x

Soit x(n)x(n)x(n) un signal causal. On définit sa transformée en ZZZ par la série entière :

X:z↦∑n=0+∞x(n)×z−nX:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}X:z↦∑n=0+∞​x(n)×z−n

On note Z(x↦x(n))=X:z↦∑n=0+∞x(n)×z−nZ(x\mapsto x(n)) = X: z\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n} Z(x↦x(n))=X:z↦∑n=0+∞​x(n)×z−n

ou bien (Zx)(z)=∑n=0+∞x(n)×z−n(Zx)(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}(Zx)(z)=∑n=0+∞​x(n)×z−n

ou encore (pour aller plus vite) X(z)=∑n=0+∞x(n)×z−nX(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}X(z)=∑n=0+∞​x(n)×z−n

Exercice :

Transformées en Z des signaux causaux usuels

Signal causal

Transformée

Exercice 7 page 264

Deux démonstrations

  • Transformée du signal rampe :

    • Calculer (n+2)−2(n+1)+n(n+2)-2(n+1)+n(n+2)−2(n+1)+n

    • Soit S=∑n⩾0+∞n×z−nS=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n\times z^{-n}S=∑n⩾0+∞​n×z−nDémontrer que z2×S−2z×S+S=z2z^2\times S-2z\times S+S=z^2z2×S−2z×S+S=z2

    • En déduire que S=z2(z−1)2S=\dfrac{z^2}{(z-1)^2}S=(z−1)2z2​

  • Transformée du signal carré :

    • Calculer (n+3)2−3(n+2)2+3(n+1)2−n2(n+3)^2-3(n+2)^2+3(n+1)^2-n^2(n+3)2−3(n+2)2+3(n+1)2−n2

    • Soit S=∑n⩾0+∞n2×z−nS=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n^2\times z^{-n}S=∑n⩾0+∞​n2×z−nDémontrer que z3×S−3z2×S+3z×S−S=z2+zz^3\times S-3z^2\times S+3z\times S-S=z^2+zz3×S−3z2×S+3z×S−S=z2+z

    • En déduire que S=z(z+1)(z−1)3S=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}S=(z−1)3z(z+1)​

Propriétés

Avec Z(n↦x(n)):z↦X(z)Z(n\mapsto x(n)):z\mapsto X(z)Z(n↦x(n)):z↦X(z), on a

  • Z(n↦an×xn):z↦X(za)Z(n\mapsto a^n\times x_n):z\mapsto X\left(\dfrac{z}{a}\right) Z(n↦an×xn​):z↦X(az​)

  • Retard :Z(n↦x(n−n0)):z↦1zn0×X(z)Z(n\mapsto x(n-n_0)):z\mapsto \dfrac{1}{z^{n_0}}\times X(z)Z(n↦x(n−n0​)):z↦zn0​1​×X(z)

  • Avance de 1 :Z(n↦x(n+1)):z↦z×(X(z)−x(0))Z(n\mapsto x(n+1)):z\mapsto z\times (X(z)-x(0))Z(n↦x(n+1)):z↦z×(X(z)−x(0))

  • Avance de 2 :Z(n↦x(n+2)):z↦z2×(X(z)−x(0)−x(1)z)Z(n\mapsto x(n+2)):z\mapsto z^2\times \left(X(z)-x(0)-\dfrac{x(1)}{z}\right)Z(n↦x(n+2)):z↦z2×(X(z)−x(0)−zx(1)​)

  • La transformée en ZZZ est linéaire :

    Z(a×x(n)+b×y(n))=a×Z(x(n))+b×Z(y(n))Z\left(a\times x(n)+b\times y(n)\right)=a\times Z(x(n))+b\times Z(y(n))Z(a×x(n)+b×y(n))=a×Z(x(n))+b×Z(y(n))

Exemples

n↦u(n)n\mapsto u(n)n↦u(n) est un signal causal discret. On note sa transformée Z(u)=U(z)Z(u)=U(z)Z(u)=U(z). Déterminer la transformée en ZZZ des signaux causaux :

  • v(n)=u(n)+2u(n−1)e(n−1)+u(n−2)e(n−2)v(n)=u(n)+2u(n-1)e(n-1)+u(n-2)e(n-2)v(n)=u(n)+2u(n−1)e(n−1)+u(n−2)e(n−2)

  • w(n)=7u(n+2)e(n+2)−u(n+1)e(n+1)+3u(n−1)e(n−1)w(n)=7u(n+2)e(n+2)-u(n+1)e(n+1)+3u(n-1)e(n-1)w(n)=7u(n+2)e(n+2)−u(n+1)e(n+1)+3u(n−1)e(n−1)

  • t(n)=−0,5n×u(n)t(n)=-0,5^n\times u(n)t(n)=−0,5n×u(n)

Exercices 8 à 12 page 264-265

Transformée en Z inverse

Chacune des fonctions suivantes est la transformée en ZZZ d'un signal discret causal. Retrouver ces signaux :

  • X(z)=5zz−1+zz−7X(z)=\dfrac{5z}{z-1}+\dfrac{z}{z-7}X(z)=z−15z​+z−7z​

  • Y(z)=3−z(z−1)2Y(z)=3-\dfrac{z}{(z-1)^2}Y(z)=3−(z−1)2z​

  • T(z)=4z2−zz2+z−2T(z)=\dfrac{4z^2-z}{z^2+z-2}T(z)=z2+z−24z2−z​

Exercices 13 à 17 page 265

GeoGebra

Applications

La transformée en ZZZ peut permettre de trouver l'expression explicite d'une suite récurrente !

Exemple #1

xxx est un signal causal discret défini par x(n)+2x(n−1)=e(n)x(n)+2x(n-1)=e(n)x(n)+2x(n−1)=e(n)

  • On peut calculer x(0)x(0)x(0) car x(0)+2x(−1)=e(0)⟹x(0)=1x(0)+2x(-1)=e(0)\Longrightarrow x(0)=1x(0)+2x(−1)=e(0)⟹x(0)=1.

  • On peut calculer x(1)x(1)x(1) car x(1)+2x(0)=e(1)⟹x(1)=−1x(1)+2x(0)=e(1)\Longrightarrow x(1)=-1x(1)+2x(0)=e(1)⟹x(1)=−1.

  • On peut calculer x(2)x(2)x(2) car x(2)+2x(1)=e(2)⟹x(2)=3x(2)+2x(1)=e(2)\Longrightarrow x(2)=3x(2)+2x(1)=e(2)⟹x(2)=3.

  • On peut calculer x(3)x(3)x(3) car x(3)+2x(2)=e(2)⟹x(3)=−5x(3)+2x(2)=e(2)\Longrightarrow x(3)=-5x(3)+2x(2)=e(2)⟹x(3)=−5.

Que vaut x(1984)x(1984)x(1984) ? On peut continuer le processus de proche en proche et atteindre x(1984)x(1984)x(1984) ...

Mais on peut aussi utiliser la transformée en ZZZ :

On note X(z)X(z)X(z) la transformée en ZZZ de x(n)x(n)x(n). Comme x(n)+2x(n−1)=e(n)x(n)+2x(n-1)=e(n)x(n)+2x(n−1)=e(n) il vient X(z)+2×X(z)z=zz−1X(z)+2\times \dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{z-1}X(z)+2×zX(z)​=z−1z​

Ainsi

X(z)(1+2z)=zz−1X(z)\left(1+\dfrac{2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}X(z)(1+z2​)=z−1z​

X(z)(z+2z)=zz−1X(z)\left(\dfrac{z+2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}X(z)(zz+2​)=z−1z​

X(z)=zz−1×zz+2X(z)=\dfrac{z}{z-1}\times\dfrac{z}{z+2}X(z)=z−1z​×z+2z​

X(z)z=z(z−1)(z+2)\dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}zX(z)​=(z−1)(z+2)z​

Il faut maintenant effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

z(z−1)(z+2)\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}(z−1)(z+2)z​

On obtient alors :

13(z−1)+23(z+2)\dfrac{1}{3(z-1)} + \dfrac{2}{3(z + 2)}3(z−1)1​+3(z+2)2​

et donc :

X(z)=z3(z−1)+2z3(z+2)X(z)=\dfrac{z}{3(z-1)} + \dfrac{2z}{3(z + 2)}X(z)=3(z−1)z​+3(z+2)2z​

Reste à appliquer la transformé en ZZZ inverse :

x(n)=(13+23(−2)n)e(n)x(n)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}(-2)^n\right)e(n)x(n)=(31​+32​(−2)n)e(n)

Exercices 20, 22, 23 page 265

Exemple #2

Soit (un)(u_n)(un​) la suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par

{un+2=−un+1+6unu0=3u1=1\left\{\begin{array}{l}u_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}\\u_0=3\\u_1=1\\\end{array}\right.⎩⎨⎧​un+2​=−un+1​+6un​u0​=3u1​=1​

On assimile la suite (un)(u_n)(un​) à un signal discret causal u(n)u(n)u(n) de transformée en ZZZ, U(z)U(z)U(z).

un+2=−un+1+6unu_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}un+2​=−un+1​+6un​

z2×(U(z)−u(0)−u(1)z)=−z×(U(z)−u(0))+6U(z)z^2\times(U(z)-u(0)-\dfrac{u(1)}{z})=-z\times(U(z)-u(0))+6U(z)z2×(U(z)−u(0)−zu(1)​)=−z×(U(z)−u(0))+6U(z)

z2×(U(z)−3−1z)=−z×(U(z)−3)+6U(z)z^2\times(U(z)-3-\dfrac{1}{z})=-z\times(U(z)-3)+6U(z)z2×(U(z)−3−z1​)=−z×(U(z)−3)+6U(z)

(z2+z−6)U(z)=3z2+4z(z^2+z-6)U(z)=3z^2+4z(z2+z−6)U(z)=3z2+4z

U(z)=3z2+4zz2+z−6U(z)=\dfrac{3z^2+4z}{z^2+z-6}U(z)=z2+z−63z2+4z​

U(z)z=3z+4z2+z−6\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{3z+4}{z^2+z-6}zU(z)​=z2+z−63z+4​

Après décomposition en éléments simples, on obtient :

U(z)z=1z+3+2z−2\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{1}{z+3}+\dfrac{2}{z-2}zU(z)​=z+31​+z−22​

U(z)=zz+3+2zz−2U(z)=\dfrac{z}{z+3}+\dfrac{2z}{z-2}U(z)=z+3z​+z−22z​

Reste à appliquer la transformé en ZZZ inverse :

u(n)=(−3)n+2×2nu(n)=(-3)^n+2\times 2^nu(n)=(−3)n+2×2n

Exercice

En appliquant la même méthode, retrouver l'expression explicite de la suite (vn)(v_n)(vn​)définie par :

{vn+2=5vn+1−6vnv1=4v0=1\left\{\begin{array}{l}v_{n+2}=5v_{n+1}-6v_{n}\\v_1=4\\v_0=1\\\end{array}\right.⎩⎨⎧​vn+2​=5vn+1​−6vn​v1​=4v0​=1​

Training

  • Exercice EA1 page 262

  • Exercices 24, 25, 26 et 27 page 267-268

Previous6. Équations différentiellesNext8. Processus aléatoires

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e(n)e(n)e(n)
zz−1\dfrac{z}{z-1}z−1z​
δ(n)\delta{(n)}δ(n)
111
n×e(n)n\times e(n)n×e(n)
z(z−1)2\frac{z}{(z-1)^2}(z−1)2z​
n2×e(n)n^2\times e(n)n2×e(n)
z(z+1)(z−1)3\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}(z−1)3z(z+1)​
an×e(n)a^n\times e(n)an×e(n)
zz−a\dfrac{z}{z-a}z−az​
Animation GeoGebra
https://www.geogebra.org/calculator
page 264