7. Transformée en Z

Pré-requis et objectifs

• Pré-requis

  • Suites numériques et suites géométriques

  • Décomposition en éléments simples

Exercices 1 à 5 page 264

• Théorie

  • Série entière

  • Signal causal - Définition, représentation

  • Transformées en $Z$ des signaux causaux usuels

  • Calculer la transformée en $Z$ de signaux causaux

  • Retrouver le signal causal d'une transformée en $Z$

• Application

  • Étudier une suite récurrente linéaire à l'aide de la transformée en $Z$

Introduction

Exercice

1. Calculer la somme $S = 1+0,5+0,5^2+0,5^3+\cdots$
2. Trouver $q\in]-1\;;\;1[$ tel que $1+q+q^2+q^3+\cdots\approx5$
3. Que valent les limites suivantes ?

   1. $\lim_{n\to+\infty}0,5^n$
   2. $\lim_{n\to+\infty}3^n$
   3. $\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{7}\right)^n$

Séries entières

Rappelons la formule de la somme de termes consécutifs de la suite géométrique $(q^n)_{n\geqslant 0}$ :

$1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

En prenant $q=t\in]-1\;;\;1[$ et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$, il vient $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1-t^{n+1}}{1-t}=\dfrac{1}{1-t}$ car $\lim_{n\to+\infty}t^n=0$

Ainsi $\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots=\dfrac{1}{1-t}$

On dit que $\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots$ est le développement en série entière de $t\mapsto\dfrac{1}{1-t}$ sur $]-1\;;1[$.

Exercice

1. On note $n!=1\times 2\times3\cdots\times n$ et $0!=1$

   1. Calculer $3!$ et $5!$
   2. Que vaut $n!\times (n+1)$ ?
2. 1. Calculer la somme $S=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{6!}$
   2. Que peut-on conjecturer pour $\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1^n}{n!}$

Définition

Une série entière se définit à l'aide d'une suite réelle ou complexe $(a_n)$ par

$S(t)=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}a_nt^n$

Approximatif mais suffisant : Son rayon de convergence est "le plus petit" réel $R$ tel que si $|t|<R$ alors la série converge. Si la série converge pour tout $|t|$ alors $R=+\infty$

Exemples

• $\sum_{n=0}^{+\infty}t^n$ est une série entière de rayon de convergence 1.
• $\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^n}{n!}$ est une série entière de rayon de convergence $+\infty$.

Signal causal

Définitions

• Un signal est dit discret s'il est défini pour les entiers. Lorsque l'on échantillonne un signal continu, on obtient un signal discret.

• Un signal discret causal est un signal discret qui est nul pour $n<0$.

Exemple

Représenter ces signaux causaux :

• $S_1:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\sin{(n)}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$
• $S_2:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\0,5^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$
• $S_3:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\\dfrac{1}{n+1}\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$
• $S_4:n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\3^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$

Animation GeoGebra

Exercice 6 page 264

Signaux causaux de référence

• Le signal échelon unité $e(n)$ ou $\mathcal U(n)$ : $e(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\1\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$
• Le signal de Dirac (impulsion unité) $\delta(n)$ : $\delta(n)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n\neq0\\1\text{ si }n=0\\\end{array}\right.$
• Le signal "rampe" : $n\times e(n)$ : $n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$
• Le signal "carré" : $n^2\times e(n)$ : $n\mapsto \left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\n^2\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$
• Le signal "exponentiel" : $a^n\times e(n)$ : $n\mapsto\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }n<0\\a^n\text{ si }n\geqslant 0\\\end{array}\right.$

Transformée en Z d'un signal causal

$\text{Signal causal}\longleftrightarrow\text{Série entière}$

$x(n)\longleftrightarrow X(z)$

$Z : \text{ la suite }x\longrightarrow \text{ la fonction } X$

$Z^{-1} : \text{ la fonction }X\longrightarrow \text{ la suite }x$

Soit $x(n)$ un signal causal. On définit sa transformée en $Z$ par la série entière :

$X:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$

On note $Z(x\mapsto x(n)) = X: z\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$

ou bien $(Zx)(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$

ou encore (pour aller plus vite) $X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)\times z^{-n}$

Exercice :

Transformées en Z des signaux causaux usuels

Signal causal	Transformée
$e(n)$	$\dfrac{z}{z-1}$
$\delta{(n)}$	$1$
$n\times e(n)$	$\frac{z}{(z-1)^2}$
$n^2\times e(n)$	$\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$
$a^n\times e(n)$	$\dfrac{z}{z-a}$

Exercice 7 page 264

Deux démonstrations

• Transformée du signal rampe :

  • Calculer $(n+2)-2(n+1)+n$
  • Soit $S=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n\times z^{-n}$Démontrer que $z^2\times S-2z\times S+S=z^2$
  • En déduire que $S=\dfrac{z^2}{(z-1)^2}$
• Transformée du signal carré :

  • Calculer $(n+3)^2-3(n+2)^2+3(n+1)^2-n^2$
  • Soit $S=\sum_{n\geqslant 0}^{+\infty}n^2\times z^{-n}$Démontrer que $z^3\times S-3z^2\times S+3z\times S-S=z^2+z$
  • En déduire que $S=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$

Propriétés

Avec $Z(n\mapsto x(n)):z\mapsto X(z)$, on a

• $Z(n\mapsto a^n\times x_n):z\mapsto X\left(\dfrac{z}{a}\right)$
• Retard :$Z(n\mapsto x(n-n_0)):z\mapsto \dfrac{1}{z^{n_0}}\times X(z)$
• Avance de 1 :$Z(n\mapsto x(n+1)):z\mapsto z\times (X(z)-x(0))$
• Avance de 2 :$Z(n\mapsto x(n+2)):z\mapsto z^2\times \left(X(z)-x(0)-\dfrac{x(1)}{z}\right)$
• La transformée en $Z$ est linéaire :

  $Z\left(a\times x(n)+b\times y(n)\right)=a\times Z(x(n))+b\times Z(y(n))$

Exemples

$n\mapsto u(n)$ est un signal causal discret. On note sa transformée $Z(u)=U(z)$. Déterminer la transformée en $Z$ des signaux causaux :

• $v(n)=u(n)+2u(n-1)e(n-1)+u(n-2)e(n-2)$
• $w(n)=7u(n+2)e(n+2)-u(n+1)e(n+1)+3u(n-1)e(n-1)$
• $t(n)=-0,5^n\times u(n)$

Exercices 8 à 12 page 264-265

Transformée en Z inverse

Chacune des fonctions suivantes est la transformée en $Z$ d'un signal discret causal. Retrouver ces signaux :

• $X(z)=\dfrac{5z}{z-1}+\dfrac{z}{z-7}$
• $Y(z)=3-\dfrac{z}{(z-1)^2}$
• $T(z)=\dfrac{4z^2-z}{z^2+z-2}$

Exercices 13 à 17 page 265

GeoGebra

https://www.geogebra.org/calculator

Applications

La transformée en $Z$ peut permettre de trouver l'expression explicite d'une suite récurrente !

Exemple #1

$x$ est un signal causal discret défini par $x(n)+2x(n-1)=e(n)$

• On peut calculer $x(0)$ car $x(0)+2x(-1)=e(0)\Longrightarrow x(0)=1$.
• On peut calculer $x(1)$ car $x(1)+2x(0)=e(1)\Longrightarrow x(1)=-1$.
• On peut calculer $x(2)$ car $x(2)+2x(1)=e(2)\Longrightarrow x(2)=3$.
• On peut calculer $x(3)$ car $x(3)+2x(2)=e(2)\Longrightarrow x(3)=-5$.

Que vaut $x(1984)$ ? On peut continuer le processus de proche en proche et atteindre $x(1984)$ ...

Mais on peut aussi utiliser la transformée en $Z$ :

On note $X(z)$ la transformée en $Z$ de $x(n)$. Comme $x(n)+2x(n-1)=e(n)$ il vient $X(z)+2\times \dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{z-1}$

Ainsi

$X(z)\left(1+\dfrac{2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}$

$X(z)\left(\dfrac{z+2}{z}\right)=\dfrac{z}{z-1}$

$X(z)=\dfrac{z}{z-1}\times\dfrac{z}{z+2}$

$\dfrac{X(z)}{z}=\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}$

Il faut maintenant effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

$\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}$

On obtient alors :

$\dfrac{1}{3(z-1)} + \dfrac{2}{3(z + 2)}$

et donc :

$X(z)=\dfrac{z}{3(z-1)} + \dfrac{2z}{3(z + 2)}$

Reste à appliquer la transformé en $Z$ inverse :

$x(n)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}(-2)^n\right)e(n)$

Exercices 20, 22, 23 page 265

Exemple #2

Soit $(u_n)$ la suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par

$\left\{\begin{array}{l}u_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}\\u_0=3\\u_1=1\\\end{array}\right.$

On assimile la suite $(u_n)$ à un signal discret causal $u(n)$ de transformée en $Z$, $U(z)$.

$u_{n+2}=-u_{n+1}+6u_{n}$

$z^2\times(U(z)-u(0)-\dfrac{u(1)}{z})=-z\times(U(z)-u(0))+6U(z)$

$z^2\times(U(z)-3-\dfrac{1}{z})=-z\times(U(z)-3)+6U(z)$

$(z^2+z-6)U(z)=3z^2+4z$

$U(z)=\dfrac{3z^2+4z}{z^2+z-6}$

$\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{3z+4}{z^2+z-6}$

Après décomposition en éléments simples, on obtient :

$\dfrac{U(z)}{z}=\dfrac{1}{z+3}+\dfrac{2}{z-2}$

$U(z)=\dfrac{z}{z+3}+\dfrac{2z}{z-2}$

Reste à appliquer la transformé en $Z$ inverse :

$u(n)=(-3)^n+2\times 2^n$

Exercice

En appliquant la même méthode, retrouver l'expression explicite de la suite $(v_n)$définie par :

$\left\{\begin{array}{l}v_{n+2}=5v_{n+1}-6v_{n}\\v_1=4\\v_0=1\\\end{array}\right.$

Caché

Correction

Training

• Exercice EA1 page 262

• Exercices 24, 25, 26 et 27 page 267-268

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