1. Calcul intégral

Introduction

Activité

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Une activité de découverte

Problème On cherche à calculer l'aire $\mathcal A$ sous la parabole $\mathcal P:y=x^2$ entre 0 et 1.

$\to$ Calcul approché :

Rectangles - parabole.png

$\bigstar$ Illustration Geogebra

Rectangles - Python.png

$\bigstar$ Programme Python

$\to$ Calcul exact :

$f(x)=x^2$ alors $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. En effet, $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

Un théorème permet d'affirmer que : $\mathcal A=\int_0^1 f(x)\,\text{d}x=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0)$

Effectuer ce calcul et comparer le résultat au résultat du calcul approché

Calcul formel (Xcas) : integrate(pow(x,2),x,0,1) 

https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php

Primitives

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que : $F'(x)=f(x)\text{ pour tout }x\in I$

Exemples

• Trouver deux primitives de $f(x)=2x+2$

• Trouver une primitives de $g(x)=3x\times e^{x^2}$

Exercice

Trouver une primitive des fonctions suivantes :

• $f(x)=x-1$

• $g(x)=x^2+x$

• $h(x)=\dfrac{1}{x}$

• $i(x)=e^{5x}$

• $j(x)=3$

• $k(x)=\cos(2x)$

• $l(x)=x^3-\dfrac{4}{\sqrt{x}}$

• $m(x)=2x(x^2+1)$

• $n(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$

• $o(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}$

Remarque

• Trouver une primitive revient souvent à utiliser le tableau des dérivées des fonctions usuelles "à l'envers"

• Dès que l'on a une primitive $F$ de $f$ sur $I$, alors $G:x\to F(x)+k$ avec la constante $k\in\mathbb{R}$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$.

Exercices Xcas :

• https://www.xcasenligne.fr/giac_online/Facilimaths/primitives/page.xhtml

• https://www.xcasenligne.fr/giac_online/Facilimaths/primitive/page.xhtml

GA : Exercices 2, 3, 4, 6, 7 et 8 page 153

DELAGRAVE : ex page 64 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/

Intégrale d'une fonction

Définition

On appelle intégrale de $f$ sur l'intervalle $[a\;;\;b]$ le nombre réel noté : $\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

Proposition

Si $f$ est positive sur $[a\;;\;b]$ et si $a\leqslant b$ alors s l'intégrale $I=\int_a^b f(x)\,\text{d}x$ est définie*, $I$ correspond à l'aire sous la courbe $\mathcal C_f$ entre $a$ et $b$.

$^*$ Il existe des fonctions pour lesquelles on ne peut pas donner de sens à l'intégrale.

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\;;\;b]$ et soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a\;;\;b]$ alors

$\int_a^b f(x)\,\text{d}x=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$

Exemple

Calculer $I=\int_0^1x^2\,\text{d}x$ et $J=\int_1^2e^{2x}\,\text{d}x$

Exercices

Calculer les intégrales suivantes :

Série #1 :

• $\int_{-2}^4 x\,\text{d}x$

• $\int_1^e \frac{1}{x}\,\text{d}x$

• $\int_4^{36} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\text{d}x$

• $\int_0^\pi \sin{(u)}\,\text{d}u$

• $\int_\pi^0 \cos{(t)}\,\text{d}t$

• $\int_0^7 \text{d}x$

Série #2 :

• $\int_0^1 \dfrac{x}{x^2+1}\,\text{d}x$

• $\int_5^5\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,\text{d}x$

• $\int_{-4}^4\frac{2u+1}{u^2+u+1}\,\text{d}u$

• $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\sin{(t)}\cos{(t)}\,\text{d}t$

• $\int_1^2\frac{1}{(x+1)^2}\,\text{d}x$

• $\int_0^\pi e^{\cos{(t)}}\sin{(t)}\,\text{d}t$

Exercices 10 à 12 page 154 DELAGRAVE : ex page 64 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/ https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/67/

Application

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Soit $f$ une fonction définie et intégrable sur $[a\;;\;b]$ ($a\neq b$). La valeur moyenne de $f$ sur $[a\;;\;b]$ est :

$\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

valeur moyenne.png

Exercices 16, 17 et 18 page 154-155 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/

Valeur efficace

Si $f$ représente un signal, la valeur efficace $f_{\text{eff}}$ de $f$ est par définition la racine carrée de la moyenne sur une période de $f^2$. On dit que la valeur efficace est la moyenne quadratique de $f$.

$f_{\text{eff}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T f^2(x)\,\text{d}x}$

En électricité, la valeur efficace d’un courant ou d'une tension variables au cours du temps correspond à la valeur d'un courant continu ou d'une tension continue qui produirait un échauffement identique dans une résistance.

Exercice 1 :

Soit le signal (une tension) défini par $u=u_0\times\cos{(\omega t+\varphi)}$

Démontrer que $u_{\text{eff}}=\dfrac{u_0}{\sqrt{2}}$ en utilisant l'identité : $\cos{(2x)}=2\cos^2{(x)}-1$

Exercice 2 :

Calculer la valeur moyenne sur une période et la valeur efficace de ce signal triangulaire :

signal-triangulaire.png

Intégration par parties

Problème : ça coince ...

Comment calculer $\int_0^1 xe^x\,\text{d}x$ ?

Proposition

$\int_a^b u'\times v=[u\times v]_a^b-\int_a^b u\times v'$

Exercice

• $\int_1^2x\ln x\,\text{d}x$

• $\int_0^{\frac{\pi}{3}}t\cos{(t)}\,\text{d}t$

• $\int_e^{x}\ln{(t)}\,\text{d}t$

Exercices Xcas :

• https://www.xcasenligne.fr/giac_online/Facilimaths/ipp/page.xhtml

Exercices 19 à 22 page 155

DELAGRAVE : page 65 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/

Application