# 1. Calcul intégral ## **Introduction** **Activité** {% file src="" %} {% hint style="info" %} [**Une activité de découverte**](https://math-trunk.web.app/problem/139) {% endhint %} **Problème** On cherche à calculer l'aire $$\mathcal A$$ sous la parabole $$\mathcal P:y=x^2$$ entre 0 et 1. $$\to$$ **Calcul approché :** ![Rectangles - parabole.png](https://lh3.googleusercontent.com/-x4Ts1GCy2C8/WrkLTy5NVgI/AAAAAAAABXM/oF1RkU5DZfMRzlx267rIrQrQjJkmIgYeQCLcBGAs/s0/Rectangles+-+parabole.png) [$$\bigstar$$ Illustration Geogebra](https://www.geogebra.org/graphing/VrcscNMm) ![Rectangles - Python.png](https://lh3.googleusercontent.com/-aY53cVH8L8g/WrkPholhqDI/AAAAAAAABXc/Whd5VlJv0CQ0s0idQjWv6hGc1yXJbA2uwCLcBGAs/s0/Rectangles+-+Python.png) [$$\bigstar$$ Programme Python](https://repl.it/@arnaudlierville/Integrale-par-les-rectangles) $$\to$$ **Calcul exact :** $$f(x)=x^2$$ alors $$F(x)=\dfrac{x^3}{3}$$ est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$. En effet, $$F'(x)=f(x)$$ pour tout $$x\in\mathbb{R}$$. **Un théorème permet d'affirmer que :** $$\mathcal A=\int\_0^1 f(x),\text{d}x=\[F(x)]\_0^1=F(1)-F(0)$$ *Effectuer ce calcul et comparer le résultat au résultat du calcul approché* ``` Calcul formel (Xcas) : integrate(pow(x,2),x,0,1) ``` ## **Primitives** **Définition** Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$. On appelle primitive de $$f$$ sur $$I$$, toute fonction $$F$$ dérivable sur $$I$$ telle que : $$F'(x)=f(x)\text{ pour tout }x\in I$$ **Exemples** * Trouver deux primitives de $$f(x)=2x+2$$ * Trouver une primitives de $$g(x)=3x\times e^{x^2}$$ **Exercice** Trouver une primitive des fonctions suivantes : * $$f(x)=x-1$$ * $$g(x)=x^2+x$$ * $$h(x)=\dfrac{1}{x}$$ * $$i(x)=e^{5x}$$ * $$j(x)=3$$ * $$k(x)=\cos(2x)$$ * $$l(x)=x^3-\dfrac{4}{\sqrt{x}}$$ * $$m(x)=2x(x^2+1)$$ * $$n(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$$ * $$o(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}$$ *Remarque* * Trouver une primitive revient souvent à utiliser le tableau des dérivées des fonctions usuelles "à l'envers" * Dès que l'on a une primitive $$F$$ de $$f$$ sur $$I$$, alors $$G:x\to F(x)+k$$ avec la constante $$k\in\mathbb{R}$$ est aussi une primitive de $$f$$ sur $$I$$. **Exercices Xcas :** * * **GA : Exercices 2, 3, 4, 6, 7 et 8 page 153** **DELAGRAVE : ex page 64**\ [**https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/**](https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/) ## **Intégrale d'une fonction** **Définition** On appelle **intégrale** de $$f$$ sur l'intervalle $$\[a;;;b]$$ le nombre réel noté : $$\int\_a^b f(x),\text{d}x$$ **Proposition** Si $$f$$ est positive sur $$\[a;;;b]$$ et si $$a\leqslant b$$ alors s l'intégrale $$I=\int\_a^b f(x),\text{d}x$$ est définie\*, $$I$$ correspond à l'aire sous la courbe $$\mathcal C\_f$$ entre $$a$$ et $$b$$. $$^\*$$ *Il existe des fonctions pour lesquelles on ne peut pas donner de sens à l'intégrale.* **Théorème fondamental** Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$\[a;;;b]$$ et soit $$F$$ une primitive de $$f$$ sur $$\[a;;;b]$$ alors $$\int\_a^b f(x),\text{d}x=\[F(x)]\_a^b=F(b)-F(a)$$ **Exemple** Calculer $$I=\int\_0^1x^2,\text{d}x$$ et $$J=\int\_1^2e^{2x},\text{d}x$$ **Exercices** Calculer les intégrales suivantes : **Série #1 :** * $$\int\_{-2}^4 x,\text{d}x$$ * $$\int\_1^e \frac{1}{x},\text{d}x$$ * $$\int\_4^{36} \frac{1}{\sqrt{x}},\text{d}x$$ * $$\int\_0^\pi \sin{(u)},\text{d}u$$ * $$\int\_\pi^0 \cos{(t)},\text{d}t$$ * $$\int\_0^7 \text{d}x$$ **Série #2 :** * $$\int\_0^1 \dfrac{x}{x^2+1},\text{d}x$$ * $$\int\_5^5\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},\text{d}x$$ * $$\int\_{-4}^4\frac{2u+1}{u^2+u+1},\text{d}u$$ * $$\int\_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\sin{(t)}\cos{(t)},\text{d}t$$ * $$\int\_1^2\frac{1}{(x+1)^2},\text{d}x$$ * $$\int\_0^\pi e^{\cos{(t)}}\sin{(t)},\text{d}t$$ **Exercices 10 à 12 page 154**\ \ **DELAGRAVE : ex page 64**\ [**https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/**](https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/)\ [**https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/67/**](https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/67/) ## **Application** #### **Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle** Soit $$f$$ une fonction définie et intégrable sur $$\[a;;;b]$$ ($$a\neq b$$). La valeur moyenne de $$f$$ sur $$\[a;;;b]$$ est : $$\mu=\dfrac{1}{b-a}\int\_a^b f(x),\text{d}x$$ ![valeur moyenne.png](https://lh3.googleusercontent.com/-E8Trf_qn9Us/WrkjUbFg4AI/AAAAAAAABYI/-07FL3i0gFA9U68sGyq9J2qm05WfDjynQCLcBGAs/s0/valeur+moyenne.png) **Exercices 16, 17 et 18 page 154-155**\ [**https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/**](https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/67/) ### **Valeur efficace** Si $$f$$ représente un signal, **la valeur efficace** $$f\_{\text{eff}}$$ **de** $$f$$ est par définition la racine carrée de la moyenne sur une période de $$f^2$$. On dit que la valeur efficace est la **moyenne quadratique de** $$f$$. $$f\_{\text{eff}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int\_0^T f^2(x),\text{d}x}$$ {% hint style="info" %} *En électricité, la valeur efficace d’un courant ou d'une tension variables au cours du temps correspond à la valeur d'un courant continu ou d'une tension continue **qui produirait un échauffement identique dans une résistance**.* {% endhint %} **Exercice 1 :** Soit le signal (une tension) défini par $$u=u\_0\times\cos{(\omega t+\varphi)}$$ Démontrer que $$u\_{\text{eff}}=\dfrac{u\_0}{\sqrt{2}}$$ en utilisant l'identité : $$\cos{(2x)}=2\cos^2{(x)}-1$$ **Exercice 2 :** Calculer la valeur moyenne sur une période et la valeur efficace de ce signal triangulaire : ![signal-triangulaire.png](https://lh3.googleusercontent.com/gIV-51_QnkBjLetQ-PiXOL7eilUDzA9vVTicalX7v1zKHtFD-F4Y-Pfd9696q8cBH9zKQpSYXuFj=s0) ## **Intégration par parties** **Problème : ça coince ...** Comment calculer $$\int\_0^1 xe^x,\text{d}x$$ ? **Proposition** $$\int\_a^b u'\times v=\[u\times v]\_a^b-\int\_a^b u\times v'$$ **Exercice** * $$\int\_1^2x\ln x,\text{d}x$$ * $$\int\_0^{\frac{\pi}{3}}t\cos{(t)},\text{d}t$$ * $$\int\_e^{x}\ln{(t)},\text{d}t$$ **Exercices Xcas :** * **Exercices 19 à 22 page 155** **DELAGRAVE : page 65**\ [**https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/**](https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/) ## Application
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