En électricité, la valeur efficace d’un courant ou d'une tension variables au cours du temps correspond à la valeur d'un courant continu ou d'une tension continue qui produirait un échauffement identique dans une résistance.
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Calculer la valeur moyenne sur une période et la valeur efficace de ce signal triangulaire :
f(x)=x2 alors F(x)=3x3 est une primitive de f sur R. En effet, F′(x)=f(x) pour tout x∈R.
Un théorème permet d'affirmer que :A=∫01f(x)dx=[F(x)]01=F(1)−F(0)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivable sur I telle que : F′(x)=f(x) pour tout x∈I
Trouver deux primitives de f(x)=2x+2
Trouver une primitives de g(x)=3x×ex2
f(x)=x−1
g(x)=x2+x
h(x)=x1
i(x)=e5x
j(x)=3
k(x)=cos(2x)
l(x)=x3−x4
m(x)=2x(x2+1)
n(x)=x2+1x
o(x)=ex−1ex
Dès que l'on a une primitive F de f sur I, alors G:x→F(x)+k avec la constante k∈R est aussi une primitive de f sur I.
On appelle intégrale de f sur l'intervalle [a;b] le nombre réel noté : ∫abf(x)dx
Si f est positive sur [a;b] et si a⩽b alors s l'intégrale I=∫abf(x)dx est définie*, I correspond à l'aire sous la courbe Cf entre a et b.
∗Il existe des fonctions pour lesquelles on ne peut pas donner de sens à l'intégrale.
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et soit F une primitive de f sur [a;b] alors
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)
Calculer I=∫01x2dx et J=∫12e2xdx
∫−24xdx
∫1ex1dx
∫436x1dx
∫0πsin(u)du
∫π0cos(t)dt
∫07dx
∫01x2+1xdx
∫55x2−1xdx
∫−44u2+u+12u+1du
∫6π4πsin(t)cos(t)dt
∫12(x+1)21dx
∫0πecos(t)sin(t)dt
Soit f une fonction définie et intégrable sur [a;b] (a=b). La valeur moyenne de f sur [a;b] est :
μ=b−a1∫abf(x)dx
valeur moyenne.png
Si f représente un signal, la valeur efficace feff de f est par définition la racine carrée de la moyenne sur une période de f2. On dit que la valeur efficace est la moyenne quadratique de f.
feff=T1∫0Tf2(x)dx
Soit le signal (une tension) défini par u=u0×cos(ωt+φ)
Démontrer que ueff=2u0 en utilisant l'identité : cos(2x)=2cos2(x)−1
