1. Calcul intégral
Introduction
Activité
Problème On cherche à calculer l'aire sous la parabole entre 0 et 1.
Calcul approché :


Calcul exact :
alors est une primitive de sur . En effet, pour tout .
Un théorème permet d'affirmer que :
Effectuer ce calcul et comparer le résultat au résultat du calcul approché
Calcul formel (Xcas) : integrate(pow(x,2),x,0,1)
https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php
Primitives
Définition
Soit une fonction définie sur un intervalle . On appelle primitive de sur , toute fonction dérivable sur telle que :
Exemples
Trouver deux primitives de
Trouver une primitives de
Exercice
Trouver une primitive des fonctions suivantes :
Remarque
Trouver une primitive revient souvent à utiliser le tableau des dérivées des fonctions usuelles "à l'envers"
Dès que l'on a une primitive de sur , alors avec la constante est aussi une primitive de sur .
Exercices Xcas :
GA : Exercices 2, 3, 4, 6, 7 et 8 page 153
DELAGRAVE : ex page 64 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/
Intégrale d'une fonction
Définition
On appelle intégrale de sur l'intervalle le nombre réel noté :
Proposition
Si est positive sur et si alors s l'intégrale est définie*, correspond à l'aire sous la courbe entre et .
Il existe des fonctions pour lesquelles on ne peut pas donner de sens à l'intégrale.
Théorème fondamental
Soit une fonction définie sur un intervalle et soit une primitive de sur alors
Exemple
Calculer et
Exercices
Calculer les intégrales suivantes :
Série #1 :
Série #2 :
Exercices 10 à 12 page 154 DELAGRAVE : ex page 64 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/ https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/67/
Application
Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Soit une fonction définie et intégrable sur (). La valeur moyenne de sur est :

Exercices 16, 17 et 18 page 154-155 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/
Valeur efficace
Si représente un signal, la valeur efficace de est par définition la racine carrée de la moyenne sur une période de . On dit que la valeur efficace est la moyenne quadratique de .
Exercice 1 :
Soit le signal (une tension) défini par
Démontrer que en utilisant l'identité :
Exercice 2 :
Calculer la valeur moyenne sur une période et la valeur efficace de ce signal triangulaire :
Intégration par parties
Problème : ça coince ...
Comment calculer ?
Proposition
Exercice
Exercices Xcas :
Exercices 19 à 22 page 155
DELAGRAVE : page 65 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/
Application

Last updated
Was this helpful?