1. Calcul intégral

Introduction

Activité

Problème On cherche à calculer l'aire A\mathcal A sous la parabole P:y=x2\mathcal P:y=x^2 entre 0 et 1.

\to Calcul approché :

Rectangles - parabole.png

\bigstar Illustration Geogebra

Rectangles - Python.png

\bigstar Programme Python

\to Calcul exact :

f(x)=x2f(x)=x^2 alors F(x)=x33F(x)=\dfrac{x^3}{3} est une primitive de ff sur R\mathbb{R}. En effet, F(x)=f(x)F'(x)=f(x) pour tout xRx\in\mathbb{R}.

Un théorème permet d'affirmer que : A=01f(x)dx=[F(x)]01=F(1)F(0)\mathcal A=\int_0^1 f(x)\,\text{d}x=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0)

Effectuer ce calcul et comparer le résultat au résultat du calcul approché

Calcul formel (Xcas) : integrate(pow(x,2),x,0,1) 

https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php

Primitives

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On appelle primitive de ff sur II, toute fonction FF dérivable sur II telle que : F(x)=f(x) pour tout xIF'(x)=f(x)\text{ pour tout }x\in I

Exemples

  • Trouver deux primitives de f(x)=2x+2f(x)=2x+2

  • Trouver une primitives de g(x)=3x×ex2g(x)=3x\times e^{x^2}

Exercice

Trouver une primitive des fonctions suivantes :

  • f(x)=x1f(x)=x-1

  • g(x)=x2+xg(x)=x^2+x

  • h(x)=1xh(x)=\dfrac{1}{x}

  • i(x)=e5xi(x)=e^{5x}

  • j(x)=3j(x)=3

  • k(x)=cos(2x)k(x)=\cos(2x)

  • l(x)=x34xl(x)=x^3-\dfrac{4}{\sqrt{x}}

  • m(x)=2x(x2+1)m(x)=2x(x^2+1)

  • n(x)=xx2+1n(x)=\dfrac{x}{x^2+1}

  • o(x)=exex1o(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}

Remarque

  • Trouver une primitive revient souvent à utiliser le tableau des dérivées des fonctions usuelles "à l'envers"

  • Dès que l'on a une primitive FF de ff sur II, alors G:xF(x)+kG:x\to F(x)+k avec la constante kRk\in\mathbb{R} est aussi une primitive de ff sur II.

Exercices Xcas :

GA : Exercices 2, 3, 4, 6, 7 et 8 page 153

DELAGRAVE : ex page 64 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/

Intégrale d'une fonction

Définition

On appelle intégrale de ff sur l'intervalle [a  ;  b][a\;;\;b] le nombre réel noté : abf(x)dx\int_a^b f(x)\,\text{d}x

Proposition

Si ff est positive sur [a  ;  b][a\;;\;b] et si aba\leqslant b alors s l'intégrale I=abf(x)dxI=\int_a^b f(x)\,\text{d}x est définie*, II correspond à l'aire sous la courbe Cf\mathcal C_f entre aa et bb.

^* Il existe des fonctions pour lesquelles on ne peut pas donner de sens à l'intégrale.

Théorème fondamental

Soit ff une fonction définie sur un intervalle [a  ;  b][a\;;\;b] et soit FF une primitive de ff sur [a  ;  b][a\;;\;b] alors

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\int_a^b f(x)\,\text{d}x=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)

Exemple

Calculer I=01x2dxI=\int_0^1x^2\,\text{d}x et J=12e2xdxJ=\int_1^2e^{2x}\,\text{d}x

Exercices

Calculer les intégrales suivantes :

Série #1 :

  • 24xdx\int_{-2}^4 x\,\text{d}x

  • 1e1xdx\int_1^e \frac{1}{x}\,\text{d}x

  • 4361xdx\int_4^{36} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\text{d}x

  • 0πsin(u)du\int_0^\pi \sin{(u)}\,\text{d}u

  • π0cos(t)dt\int_\pi^0 \cos{(t)}\,\text{d}t

  • 07dx\int_0^7 \text{d}x

Série #2 :

  • 01xx2+1dx\int_0^1 \dfrac{x}{x^2+1}\,\text{d}x

  • 55xx21dx\int_5^5\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,\text{d}x

  • 442u+1u2+u+1du\int_{-4}^4\frac{2u+1}{u^2+u+1}\,\text{d}u

  • π6π4sin(t)cos(t)dt\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\sin{(t)}\cos{(t)}\,\text{d}t

  • 121(x+1)2dx\int_1^2\frac{1}{(x+1)^2}\,\text{d}x

  • 0πecos(t)sin(t)dt\int_0^\pi e^{\cos{(t)}}\sin{(t)}\,\text{d}t

Exercices 10 à 12 page 154 DELAGRAVE : ex page 64 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/64/ https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/67/

Application

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Soit ff une fonction définie et intégrable sur [a  ;  b][a\;;\;b] (aba\neq b). La valeur moyenne de ff sur [a  ;  b][a\;;\;b] est :

μ=1baabf(x)dx\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\text{d}x

valeur moyenne.png

Exercices 16, 17 et 18 page 154-155 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/

Valeur efficace

Si ff représente un signal, la valeur efficace fefff_{\text{eff}} de ff est par définition la racine carrée de la moyenne sur une période de f2f^2. On dit que la valeur efficace est la moyenne quadratique de ff.

feff=1T0Tf2(x)dxf_{\text{eff}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T f^2(x)\,\text{d}x}

En électricité, la valeur efficace d’un courant ou d'une tension variables au cours du temps correspond à la valeur d'un courant continu ou d'une tension continue qui produirait un échauffement identique dans une résistance.

Exercice 1 :

Soit le signal (une tension) défini par u=u0×cos(ωt+φ)u=u_0\times\cos{(\omega t+\varphi)}

Démontrer que ueff=u02u_{\text{eff}}=\dfrac{u_0}{\sqrt{2}} en utilisant l'identité : cos(2x)=2cos2(x)1\cos{(2x)}=2\cos^2{(x)}-1

Exercice 2 :

Calculer la valeur moyenne sur une période et la valeur efficace de ce signal triangulaire :

signal-triangulaire.png

Intégration par parties

Problème : ça coince ...

Comment calculer 01xexdx\int_0^1 xe^x\,\text{d}x ?

Proposition

abu×v=[u×v]ababu×v\int_a^b u'\times v=[u\times v]_a^b-\int_a^b u\times v'

Exercice

  • 12xlnxdx\int_1^2x\ln x\,\text{d}x

  • 0π3tcos(t)dt\int_0^{\frac{\pi}{3}}t\cos{(t)}\,\text{d}t

  • exln(t)dt\int_e^{x}\ln{(t)}\,\text{d}t

Exercices Xcas :

Exercices 19 à 22 page 155

DELAGRAVE : page 65 https://www.libmanuels.fr/demo/9782206106915/specimen/65/

Application

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