8. Processus aléatoires
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On étudie la propagation d'une maladie dans une population. On choisit au hasard une personne dans cette population.
On note :
l'événement « la personne est malade le nième jour de l'étude » ;
l'événement « la personne est saine le nième jour de l'étude » ;
la probabilité de l'événement ;
la probabilité de l'événement .
On suppose que :
la probabilité qu'une personne malade soit guérie le lendemain est ;
la probabilité qu'une personne saine tombe malade le lendemain est .
Au début de l'étude, la maladie touche 5 % de la population. On a donc et .
Peut-on prévoir la probabilité q'une personne soit malade le jour 5 ?
Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel :
Les sommets du graphe représentent les différents états possibles d'un système
Les poids des branches indiquent les probabilités de passage d'un état vers un autre
Dans un graphe orienté, la somme des poids des branches issues d'un même sommet est égale à 1.
Exemples : construire les matrices de transition des 3 graphes probabilistes précédents.
Et on établit le système :
Mais nous pouvons aussi réaliser le graphe suivant :
Sa matrice de transition est :
Continuons :
On obtiendra ainsi
Exemple :
Calculer l'état stable du graphe.
Correction du 2 :
La matrice de transition d'un graphe probabiliste est la matrice où est la probabilité de passage de l'état vers l'état (ligne = de, colonne = vers). Remarque : dans une matrice de transition la somme des coefficients de chaque ligne est égale à 1.
Si est la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'état initial donné par le vecteur ligne , alors est l'état probabiliste à l'étape .
Ainsi, au bout de 3 jours, le gaz contient litres de gaz de type A et litres de gaz de type B.
Le calcul donne .
On retrouve ainsi :
Ainsi pour tout .
En multipliant par la droite par dans les deux membres
et pour tout .
Appliqué pour à la calculatrice, on retrouve les résultats.
Soit un graphe probabiliste d'ordre 2 ou plus (nombre de sommets) de matrice de transition . Si ne contient pas de alors l'état converge vers un état stable , indépendant de l'état initial et est l'unique solution de l'équation avec où .
Pour trouver , il faut se servir du fait que la somme des coordonnées de ce vecteur doit être égale à 1.
Construire un graphe probabiliste à 2 états dont la matrice de transition est
