8. Processus aléatoires

Un problème

On étudie la propagation d'une maladie dans une population. On choisit au hasard une personne dans cette population.

On note :

• $M_n$ l'événement « la personne est malade le nième jour de l'étude » ;

• $\overline{M_n}​$​​​​​ l'événement « la personne est saine le nième jour de l'étude » ;

• $p_n$​​ la probabilité de l'événement $M_n$​​ ;

• $q_n$ la probabilité de l'événement $\overline{M_n}​$​​​​​.

On suppose que :

• la probabilité qu'une personne malade soit guérie le lendemain est $0,3$ ;

• la probabilité qu'une personne saine tombe malade le lendemain est $0,2$.

Au début de l'étude, la maladie touche 5 % de la population. On a donc $p_0=0,05$ et $q_0=0,95$.

Peut-on prévoir la probabilité q'une personne soit malade le jour 5 ?

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TP : propagation d'une maladie

Fiche d'exercices

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La théorie

Définition

Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel :

• Les sommets du graphe représentent les différents états possibles d'un système

• Les poids des branches indiquent les probabilités de passage d'un état vers un autre

Dans un graphe orienté, la somme des poids des branches issues d'un même sommet est égale à 1.

Graphe probabiliste d'ordre 2

Graphe probabiliste d'ordre 2

Graphe probabiliste d'ordre 3

Définition

La matrice de transition d'un graphe probabiliste est la matrice $M=(p_{i,j})$ où $p_{i,j}$ est la probabilité de passage de l'état $i$ vers l'état $j$(ligne = de, colonne = vers). Remarque : dans une matrice de transition la somme des coefficients de chaque ligne est égale à 1.

Exemple

Exemples : construire les matrices de transition des 3 graphes probabilistes précédents.

Proposition - Définition

Si $M$ est la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'état initial donné par le vecteur ligne $P_0$, alors $P_n=P_0\times M^n$ est l'état probabiliste à l'étape $n$.

Exemple

Un exemple tiré de https://chingatome.fr/

Question : quelle est la composition du mélange au bout de 3 heures ?

A- Résolution à l'aide de suites

Et on établit le système :

Ainsi, au bout de 3 jours, le gaz contient $52,24$ litres de gaz de type A et $17,76$ litres de gaz de type B.

B - Résolution à l'aide de la matrice de transition du graphe

Mais nous pouvons aussi réaliser le graphe suivant :

Sa matrice de transition est :

$M=\left(\begin{array}{cc}0,8&0,2\\0,6&0,4\\\end{array}\right)$

Le calcul $(a_n\;\; b_n)^{\left(\begin{array}{cc}0,8&0,2\\0,6&0,4\\\end{array}\right)}$ donne $(0,8\times a_n+0,6\times b_n\;\;\; 0,2\times a_n+0,4\times b_n)$.

On retrouve ainsi $(a_{n+1}\;\; b_{n+1})$ :

Ainsi $(a_n\;\; b_n)\times M = (a_{n+1}\;\; b_{n+1})$ pour tout $n$.

Continuons :

$(a_0\;\; b_0)\times M = (a_1\;\; b_{1})$

En multipliant par la droite par $M$ dans les deux membres

$(a_0\;\; b_0)\times M^2 = (a_1\;\; b_{1})\times M=(a_2\;\; b_{2})$

On obtiendra ainsi

$(a_3\;\; b{_3})= (a_0\;\; b_0)\times M^3$ et $(a_n\;\; b{_n})= (a_0\;\; b_0)\times M^n$ pour tout $n$.

Appliqué pour $n=3$ à la calculatrice, on retrouve les résultats.

Calculs effectués sur https://www.numworks.com/simulator/

Question : la concentration des gaz va-t-elle se stabiliser dans le temps ?

Théorème

Soit un graphe probabiliste d'ordre 2 ou plus (nombre de sommets) de matrice de transition $M$. Si $M$ne contient pas de $0$ alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P$, indépendant de l'état initial $P_0$ et $P$ est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ avec $X=(x\;\;y)$où $x+y=1$.

Pour trouver $P$, il faut se servir du fait que la somme des coordonnées de ce vecteur $P$ doit être égale à 1.

Exemple :

1. Construire un graphe probabiliste à 2 états dont la matrice de transition est $M=\left(\begin{array}{c}0,6&&0,4\\0,2&&0,8\\\end{array}\right)$

2. Calculer l'état stable du graphe.

Correction du 2 :

TP - Lancers de pièces

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