C - Loi uniforme

Introduction

Le feu tricolore

Un feu tricolore est vert pendant 2 minutes, à l'orange pendant 30 secondes et reste au rouge pendant 2 minutes.

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Lorsque nous arrivons à ce feu tricolore et qu'il est au rouge, combien de temps nous faudra-t-il attendre avant de pouvoir redémarrer ?

Loi uniforme

Définition : loi uniforme

La loi uniforme sur un intervalle $[a\;;\;b]$ est la loi qui correspond au choix au hasard d'un nombre de cet intervalle. C'est une loi continue

Propriétés : loi uniforme

Si $X$ suit une loi uniforme sur $[a\;;\;b]$ alors

• pour $a\leqslant c\leqslant d\leqslant b$, on a $P(X\in[c\;;\;d])=\dfrac{d-c}{b-a}$
• $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$
• $\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2\sqrt{3}}$

Exemple #1

On choisit un nombre au hasard dans $[1\;;\;3]$ :

1. Quelle est la probabilité que le nombre appartienne à $[1,5\;;\;2]$ ?
2. Quelle est la probabilité que le nombre soit inférieur à 2,3 ?

3. Calculer $\mu$ et $\sigma$.

Exemple #2

À une caisse d'une magasin, le temps d'attente en minute suit une loi uniforme sur l'intervalle $[0\;;\;7]$.

Quel est le temps d'attente moyen ?

Exercices 2, 2 bis, 3 et 4 page 357