D - Nombres complexes #3

Module, argument et lignes de niveau

Propriétés

Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan complexe $(O\;;\;\vec{u}\;;\;\vec{v})$

• $|z_B-z_A|=AB$

• $\arg{(z_B-z_A)}=\widehat{(\vec{u}\;;\;\overrightarrow{AB})}$, valalable si $z_A\neq z_B$

Exemple #1

Déterminer l'ensemble des point $M(z)$ du plan complexe tels $|z-3+\text{i}|=4$

Exemple #2

Déterminer l'ensemble des point $M(z)$ du plan complexe tels $\arg{(z-\text{i})}=\dfrac{\pi}{4}$

Exercices 39 à 42 pages 35

Transformations complexes

Une transformation complexe est une application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ ou, de manière équivalente, du plan complexe dans le plan complexe $(O\;;\;\vec{u}\;;\;\vec{v})$ en notant $M(z)$ et $M(z')$ :

$f:M\mapsto M'$

$f:z\mapsto z'$

transformation-complexes.png

$\bigstar$ Illustration GeoGebra

Transformation $z\mapsto z+b$

Soit $b\in\mathbb{R}$ et la transformation complexe $z\mapsto z+b$

C'est l'écriture complexe de la translation de vecteur $\vec{v}(b\;;\;0)$.

Transformation $z\mapsto a\times z$

Soit $a\in\mathbb{R}$ et la transformation complexe $z\mapsto a\times z$

C'est l'écriture complexe de l'homothétie de centre $O(0\;;\;0)$ et de rapport $a$.

Transformation $z\mapsto a\times z + b$

Soit $a$ et $b\in\mathbb{R}$ et la transformation complexe $z\mapsto a\times z+b$

C'est l'écriture complexe de l'homothétie de centre $O(0\;;\;0)$ et de rapport $a$ suivie de la translation de vecteur $\vec{v}(b\;;\;0)$. On parle de composition de transformations.

Exemple

Soit $f:z\mapsto2z+1$

1. Identifier la succession de transformations associée à $f$

2. Déterminer l'image par $f$ du cercle de centre $\Omega\left(\dfrac{1}{2}\;;\;0\right)$ et de rayon 3.

Exercice

Soit $g:z\mapsto-3z+2$

1. Identifier la succession de transformations associée à $f$

2. Représenter la droite $(d):y=2$ et son l'image $(d')$ par $g$ dans le plan complexe.

Exercices 43 et 44 pages 35-36

Transformation $z\mapsto\overline{z}$

$z\mapsto\overline{z}$

est l'écriture complexe de la symétrie d'axe $(O\;;\;\vec{u})$.

Transformation $z\mapsto\dfrac{1}{z}$

$z\mapsto\dfrac{1}{z}$

est appelée inversion complexe.

TP : Image de droites parallèles aux axes du repère par une inversion complexe


$\bigstar$ Illustration GeoGebra

Proposition

Soit $a\neq0\in\mathbb{R}$

• L'image de la droite d'équation $x=a$ par l'inversion complexe $z\mapsto\dfrac{1}{z}$ est le cercle de centre $\Omega\left(\dfrac{1}{2a}\;;\;0\right)$ et de rayon $R=\left|\dfrac{1}{2a}\right|$

• L'image de la droite d'équation $y=a$ par l'inversion complexe $z\mapsto\dfrac{1}{z}$ est le cercle de centre $\Omega\left(0\;;\;\dfrac{1}{2a}\right)$ et de rayon $R=\left|\dfrac{1}{2a}\right|$

Inversion d'un carré

inversion-carré.png

$\bigstar$ Illustration GeoGebra

Transformations du type $z\mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}$

Un exemple

Soit la transformation suivante

$f:z\mapsto \dfrac{2z+1}{z-1}$

1. Déterminer $a$ et $b$ tels que $f(z)=a+\dfrac{b}{z-1}$

2. Identifier la succession de transformations géométriques associée à $f$

3. En déduire l'image de la droite $D:x=2$

Exercice

Répondre aux mêmes questions avec $g:z\mapsto \dfrac{z}{z-1}$

Exercices 45, 47, 48 page 36