# D - Nombres complexes #3

## **Module, argument et lignes de niveau**

**Propriétés**

Soit $$A(z\_A)$$ et $$B(z\_B)$$ deux points du plan complexe $$(O;;;\vec{u};;;\vec{v})$$

* $$|z\_B-z\_A|=AB$$
* $$\arg{(z\_B-z\_A)}=\widehat{(\vec{u};;;\overrightarrow{AB})}$$, valalable si $$z\_A\neq z\_B$$

**Exemple #1**

Déterminer l'ensemble des point $$M(z)$$ du plan complexe tels $$|z-3+\text{i}|=4$$

**Exemple #2**

Déterminer l'ensemble des point $$M(z)$$ du plan complexe tels $$\arg{(z-\text{i})}=\dfrac{\pi}{4}$$

**Exercices 39 à 42 pages 35**

## **Transformations complexes**

Une transformation complexe est une application de $$\mathbb{C}$$ dans $$\mathbb{C}$$ ou, de manière équivalente, du plan complexe dans le plan complexe $$(O;;;\vec{u};;;\vec{v})$$ en notant $$M(z)$$ et $$M(z')$$ :

$$f:M\mapsto M'$$

$$f:z\mapsto z'$$

![transformation-complexes.png](https://lh3.googleusercontent.com/-6GZOI_D3PR8/XPjXl18fUxI/AAAAAAAACeQ/BPfmHFnB_OIEezzMUYEXNcG6kLICqLgRACLcBGAs/s0/transformation-complexes.png)

[$$\bigstar$$ **Illustration GeoGebra**](https://www.geogebra.org/graphing/nnsu6ymm)

### **Transformation** $$z\mapsto z+b$$

Soit $$b\in\mathbb{R}$$ et la transformation complexe $$z\mapsto z+b$$

C'est l'écriture complexe de la **translation** de vecteur $$\vec{v}(b;;;0)$$.

### **Transformation** $$z\mapsto a\times z$$

Soit $$a\in\mathbb{R}$$ et la transformation complexe $$z\mapsto a\times z$$

C'est l'écriture complexe de l'**homothétie** de centre $$O(0;;;0)$$ et de rapport $$a$$.

### **Transformation** $$z\mapsto a\times z + b$$

Soit $$a$$ et $$b\in\mathbb{R}$$ et la transformation complexe $$z\mapsto a\times z+b$$

C'est l'écriture complexe de l'homothétie de centre $$O(0;;;0)$$ et de rapport $$a$$ **suivie** de la translation de vecteur $$\vec{v}(b;;;0)$$. On parle de **composition** de transformations.

**Exemple**

Soit $$f:z\mapsto2z+1$$

1. Identifier la succession de transformations associée à $$f$$
2. Déterminer l'image par $$f$$ du cercle de centre $$\Omega\left(\dfrac{1}{2};;;0\right)$$ et de rayon 3.

**Exercice**

Soit $$g:z\mapsto-3z+2$$

1. Identifier la succession de transformations associée à $$f$$
2. Représenter la droite $$(d):y=2$$ et son l'image $$(d')$$ par $$g$$ dans le plan complexe.

**Exercices 43 et 44 pages 35-36**

### **Transformation** $$z\mapsto\overline{z}$$

$$z\mapsto\overline{z}$$

est l'écriture complexe de la symétrie d'axe $$(O;;;\vec{u})$$.

### **Transformation** $$z\mapsto\dfrac{1}{z}$$

$$z\mapsto\dfrac{1}{z}$$

est appelée **inversion complexe**.

#### **TP : Image de droites parallèles aux axes du repère par une inversion complexe**

!\[TP-Recherche-inversion d'une droite.png]\([https://lh3.googleusercontent.com/-SThnnj\_OMd8/XPjbHWjmfXI/AAAAAAAACeg/xFnLNBFS2G0xAj7hipmQES44G4MoZWRcgCLcBGAs/s0/TP-Recherche-inversion+d%2527une+droite.png](https://lh3.googleusercontent.com/-SThnnj_OMd8/XPjbHWjmfXI/AAAAAAAACeg/xFnLNBFS2G0xAj7hipmQES44G4MoZWRcgCLcBGAs/s0/TP-Recherche-inversion+d%27une+droite.png) "TP-Recherche-inversion d'une droite.png")

[$$\bigstar$$ **Illustration GeoGebra**](https://www.geogebra.org/graphing/z2446yuw)

#### **Proposition**

Soit $$a\neq0\in\mathbb{R}$$

* L'image de la droite d'équation $$x=a$$ par l'inversion complexe $$z\mapsto\dfrac{1}{z}$$ est le cercle de centre $$\Omega\left(\dfrac{1}{2a};;;0\right)$$ et de rayon $$R=\left|\dfrac{1}{2a}\right|$$
* L'image de la droite d'équation $$y=a$$ par l'inversion complexe $$z\mapsto\dfrac{1}{z}$$ est le cercle de centre $$\Omega\left(0;;;\dfrac{1}{2a}\right)$$ et de rayon $$R=\left|\dfrac{1}{2a}\right|$$

#### **Inversion d'un carré**

![inversion-carré.png](https://lh3.googleusercontent.com/-yfLLKChhiUU/XPjcUndEFfI/AAAAAAAACew/Kiyo1hlXykAKZ28pATbIuFxn9YOvAokfgCLcBGAs/s0/inversion-carre%CC%81.png)

[$$\bigstar$$ **Illustration GeoGebra**](https://www.geogebra.org/graphing/f4qdxrrr)

## **Transformations du type** $$z\mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}$$

**Un exemple**

Soit la transformation suivante

$$f:z\mapsto \dfrac{2z+1}{z-1}$$

1. Déterminer $$a$$ et $$b$$ tels que $$f(z)=a+\dfrac{b}{z-1}$$
2. Identifier la succession de transformations géométriques associée à $$f$$
3. En déduire l'image de la droite $$D:x=2$$

**Exercice**

Répondre aux mêmes questions avec $$g:z\mapsto \dfrac{z}{z-1}$$

**Exercices 45, 47, 48 page 36**