2. Calcul matriciel #1
Chasse au trésor !
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En partant d'une carte au trésor :
On construit un graphe contient trois points A, B et C reliés par des chemins de la façon suivante :
Combien y a-t-il de chemins qui permettent de passer de A à B en un tronçon ? de B à C ? de A à C ? de C à C ?
Remplir le tableau suivant en indiquant le nombre de chemins d'un seul tronçon reliant les points deux à deux :
Que remarque-t-on ?
Combien y a-t-il des chemins de deux tronçons qui relient A à C ? A à A ?
Le nombre de chemins en deux tronçons pour joindre B à B correspond à la somme :
du nombre de chemins en un tronçon de B à A multiplié par le nombre de chemins en un tronçon de A à B
du nombre de chemins en un tronçon de B à B multiplié par le nombre de chemins en un tronçon de B à B
du nombre de chemins en un tronçon de B à C multiplié par le nombre de chemins en un tronçon de C à B
Application :
Multiplier la ligne 2 par la colonne 3
Que retrouve-t-on ?
Multiplication de deux matrices
On obtient alors la matrice produit
Que retrouve-t-on ?
La matrice d'adjacence du graphe est obtenue en ne gardant que les nombres :
Remplir le tableau suivant en indiquant le nombre de chemins de deux tronçons reliant les points deux à deux :
En extrayant les nombres du tableau $T_2$ on obtient une nouvelle matrice :
Soit
le nombre de chemins partants de $B$ vers les autres points sont donnés par la ligne 2
le nombre de chemins depuis les autres points arrivants à $B$ sont donnés par la colonne 2
On définit alors la "multiplication" d'une ligne par une colonne par la formule :
Conséquence : on peut obtenir la matrice des trajets à 2 tronçons à l'aide d'un calcul sur la matrice des trajets à 1 tronçon.
Soit et
où
Calculer
À l'aide de la calculatrice calculer .
Que nous donne cette matrice . Retrouver les résultats sur le graphe.