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# B - Nombres complexes #2

## **Introduction**

Soit $$M$$ un point du plan dans un repère orthonormé $$(O;;;\vec{u};;;\vec{v})$$ (le plan complexe).

Si on note

* $$r=OM$$
* $$\theta=\widehat{(\vec{u};;;\overrightarrow{OM})}$$

![forme-trigo.png](https://lh3.googleusercontent.com/-jScX5ciQLrw/XPe9ZwnCGDI/AAAAAAAACeA/eHSY0gpJuLo5z49V7glKWhr51P-6oLJngCLcBGAs/s0/forme-trigo.png)

[$$\bigstar$$ **Illustration GeoGebra**](https://www.geogebra.org/graphing/yafuvg3j)

Alors les coordonnées de $$M$$ sont $$M(r\times\cos{\theta};;;r\times\sin\theta)$$ et l'affixe de $$M$$ est $$z\_M=r\cos{\theta}+\text{i}\times r\sin\theta=r\times (\cos{\theta}+\text{i}\sin\theta)$$

Cette écriture du complexe $$z\_M$$ est appelée **forme trigonométrique**

#### **Forme algébrique et forme trigonométrique**

**Rappel :** le nombre imaginaire est un nombre $$\text{i}$$ tel que $$\text{i}^2=-1$$

**Exemple**

Comment mettre sous forme trigonométrique le nombre complexe $$z=\sqrt{3}+3\text{i}$$

**Exercice**

Soit $$z\_1=1+\text{i}$$ et $$z\_2=2\sqrt{3}+2\text{i}$$.

* Mettre $$z\_1$$, $$z\_2$$ sous forme trigonométrique.
* Mettre ensuite $$z\_1\times z\_2$$ et $$\dfrac{z\_1}{z\_2}$$sous forme trigonométrique.

**Exercices 26 et 27 pages 33-34**

## **Formulaire**

![trigo.jpg](https://lh3.googleusercontent.com/-fUalCfJd6Qo/XPZvmsHQRYI/AAAAAAAACdw/5d9rB3RYQT8OzvQASsYBG-D_wqE8nI_mwCLcBGAs/s0/trigo.jpg)

* Forme algébrique $$z=a+\text{i}b$$
* Conjugé $$\overline{z}=a-\text{i}b$$
* Module $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
* Un argument de $$z\neq 0$$ est un réel $$\theta$$ tel que 
  * $$\cos{\theta}=\dfrac{a}{|z|}$$
  * $$\sin{\theta}=\dfrac{b}{|z|}$$
* Forme trigonométrique $$z=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$$ $$\text{avec }r=|z|\text{ et }\theta\text{ un argument de }z$$
* Notation $$z=\[|z|, \theta]$$

#### **Propriétés**

$$z\times\overline{z}=|z|^2$$

$$\[|z\_1|, \theta\_1]\times\[|z\_2|, \theta\_2]=\[|z\_1|\times|z\_2|, \theta\_1+\theta\_2]$$

$$\dfrac{\[|z\_1|, \theta\_1]}{\[|z\_2|, \theta\_2]}=\left\[\dfrac{|z\_1|}{|z\_2|}, \theta\_1-\theta\_2\right]$$

## **Notation exponentielle**

On note $$\cos\theta+\text{i}\times\sin\theta=e^{\text{i}\theta}$$

ainsi $$z=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)=re^{\text{i}\theta}$$ avec $$r> 0$$ et $$\theta\in\mathbb{R}$$ est la **forme exponentielle** de $$z\neq0$$.

**Exemple**

1. Donner la forme exponentielle de $$\sqrt{3}+\text{i}$$ et $$\sqrt{3}-\text{i}$$
2. Donner la forme algébrique de $$z\_1=3e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$$, $$z\_2=3e^{\text{i}\pi}$$
3. Calculer $$z\_1\times z\_2$$, $$\dfrac{z\_1}{z\_2}$$ et $$z\_1^2$$ sous forme exponentielle

**Exercices 26 et 28 à 33 pages 33-34**