B - Nombres complexes #2

Introduction

Soit $M$ un point du plan dans un repère orthonormé $(O\;;\;\vec{u}\;;\;\vec{v})$ (le plan complexe).

Si on note

• $r=OM$

• $\theta=\widehat{(\vec{u}\;;\;\overrightarrow{OM})}$

forme-trigo.png

$\bigstar$ Illustration GeoGebra

Alors les coordonnées de $M$ sont $M(r\times\cos{\theta}\;;\;r\times\sin\theta)$ et l'affixe de $M$ est $z_M=r\cos{\theta}+\text{i}\times r\sin\theta=r\times (\cos{\theta}+\text{i}\sin\theta)$

Cette écriture du complexe $z_M$ est appelée forme trigonométrique

Forme algébrique et forme trigonométrique

Rappel : le nombre imaginaire est un nombre $\text{i}$ tel que $\text{i}^2=-1$

Exemple

Comment mettre sous forme trigonométrique le nombre complexe $z=\sqrt{3}+3\text{i}$

Exercice

Soit $z_1=1+\text{i}$ et $z_2=2\sqrt{3}+2\text{i}$.

• Mettre $z_1$, $z_2$ sous forme trigonométrique.

• Mettre ensuite $z_1\times z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$sous forme trigonométrique.

Exercices 26 et 27 pages 33-34

Formulaire

trigo.jpg

• Forme algébrique $z=a+\text{i}b$

• Conjugé $\overline{z}=a-\text{i}b$

• Module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

• Un argument de $z\neq 0$ est un réel $\theta$ tel que

  • $\cos{\theta}=\dfrac{a}{|z|}$

  • $\sin{\theta}=\dfrac{b}{|z|}$

• Forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$ $\text{avec }r=|z|\text{ et }\theta\text{ un argument de }z$

• Notation $z=[|z|, \theta]$

Propriétés

$z\times\overline{z}=|z|^2$

$[|z_1|, \theta_1]\times[|z_2|, \theta_2]=[|z_1|\times|z_2|, \theta_1+\theta_2]$

$\dfrac{[|z_1|, \theta_1]}{[|z_2|, \theta_2]}=\left[\dfrac{|z_1|}{|z_2|}, \theta_1-\theta_2\right]$

Notation exponentielle

On note $\cos\theta+\text{i}\times\sin\theta=e^{\text{i}\theta}$

ainsi $z=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)=re^{\text{i}\theta}$ avec $r> 0$ et $\theta\in\mathbb{R}$ est la forme exponentielle de $z\neq0$.

Exemple

1. Donner la forme exponentielle de $\sqrt{3}+\text{i}$ et $\sqrt{3}-\text{i}$

2. Donner la forme algébrique de $z_1=3e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$, $z_2=3e^{\text{i}\pi}$

3. Calculer $z_1\times z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$ et $z_1^2$ sous forme exponentielle

Exercices 26 et 28 à 33 pages 33-34