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# 6. Équations différentielles
## Refroidissement d'un système
{% file src="/files/XtWatDMF38BVMX9jdTRW" %}
{% file src="/files/tLLQtPKAoFXPuzuF5wWQ" %}
## TP - Résolution d'équations différentielles
{% file src="/files/jHns1XZkwqHJEYijHniW" %}
## TP-CCF "Disk orverflow"
{% file src="/files/rI35CHaukMtc79C3A9rZ" %}
{% file src="/files/baDUaEXUPOlKBCyKDpVC" %}
#### Jeux de données en ligne :
* Framacalc :
* Google sheet :
## Premières définitions
Dans une **équation différentielle** l'inconnue recherchée est une fonction.
* Par exemple, on cherche une fonction $$f$$ dérivable sur $$\mathbb{R}$$ telle que $$f'(t)=2\times f(t)\text{ pour tout } x\in\mathbb{R}\text{ et }f(0)=1$$
* Ou bien encore une fonction $$g$$ dérivable sur $$]0;;;+\infty\[$$ telle que $$g'(t)\times g(t)=2t+1\text{ avec } g(0)=0$$
* Une équation différentielle d'ordre 2 contient une *dérivée seconde*
$$y''+y=x^2$$
**Échauffement : exercices 1 à 3 page 191**
{% hint style="success" %}
**Aidez-vous de Xcas en ligne :** [**https://www.xcasenligne.fr**](https://www.xcasenligne.fr)
{% endhint %}
## Utilisation des équations différentielles
Les équations différentielles permettent de modéliser de nombreux phénomènes.
* **Taux d'alcoolémie :** \
Le taux d'alcoolémie $$f( t )$$ (en $$\text{g}⋅\text{L}^{−1}$$) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie l'équation différentielle $$y ′( t ) + y( t ) = a\times e^{− t}$$ , où t ≥ 0 est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures) et a est une constante qui dépend de la quantité d'alcool ingérée et de la personne.
* **Loi de Newton** : \
La variation de la température $$\theta$$ d'un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : \
$$\theta'(t)=\lambda(\theta\_a-\theta(t))$$, où $$\theta\_a$$ est la température ambiante, $$\lambda$$ est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales et t est le temps, donné en minutes.
* **Accroissement de "population" :**
* L'accroissement de la population P d'un pays est proportionnel à cette population.\
**Q** : la population double tous les 50 ans.\
**Q** : en combien de temps triple-t-elle ?
* La désintégration radioactive : la vitesse de désintégration des atomes radioactifs est proportionnelle à la quantité de matière radioactive restante.
* Cinétique chimique : quand la vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante.\
**Q** : On place 20 g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10 g.\
Combien de temps faut-il encore attendre pour qu'il reste seulement 1 g ?
* **Équation du mouvement d'un pendule :** \
Si $$\theta$$ est l'angle entre le fil et la verticale du pendule, alors $$\theta''+\dfrac{g}{l}\times\theta=0$$ où $$g$$ est l'intensité de la force de pesanteur et $$l$$ la longueur du pendule.
## En électronique
#### **Équation différentielle de l'intensité du courant dans un circuit RL**
#### **Équation différentielle de la tension dans un circuit RC**
{% hint style="info" %}
[**Pour construire les circuits : http://www.falstad.com/circuit/**](http://www.falstad.com/circuit/)
{% endhint %}
**P1 page 177**
## **Un type d'équations différentielles linéaires du premier ordre**
Celles qui nous intéressent sont du type $$ay'+by=c(t)$$ avec $$a\neq 0$$ et $$b$$ deux nombres réels.
#### **Théorème #1 - équation homogène**
Les solutions de $$ay'+by=0$$ sont du type
$$y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$$
{% hint style="success" %}
[**Animation GeoGebra**](https://www.geogebra.org/classic/e5c4kpvz)
{% endhint %}
**Exemples :**
a) Dans chacun des cas donner **toutes les** solutions de
1. $$2y'+3y=0$$
2. $$y'=-0,1y$$
3. $$y'-y=0$$
b) Déterminer **la solution** de $$y'-2,5y=0$$ telle $$y(0)=10$$
**Exercice 5 page 191**
#### **Théorème #2**
Les solutions de $$(E) : ay'+by=c(t)$$ sont du type $$y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}+y\_p(t)\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$$ où $$y\_p$$ est **une solution particulière** de $$(E)$$.
**Exemples :**
Soit l'équation $$(E):y'-2y=3t^2+1$$
1. Chercher une solution particulière de $$(E)$$ de la forme $$y\_p(t)=At^2+Bt+C$$
2. Déterminer **toutes les** solutions de l'équation différentielle *homogène* $$(H):y'-2y=0$$
3. En déduire **la** solution $$y$$ de $$(E)$$ telle que $$y(-1)=e$$
{% hint style="success" %}
[Correction](https://drive.google.com/file/d/1_ScoPgglgZf0ADlirNybN-L2LBOYRmZ5/view?usp=sharing)
{% endhint %}
```
Commande GeoGebra :
RésolEquaDiff(2y+3x^(2)+1,(0,ℯ^(2)))
Commande xCas :
desolve([y'-2y=3*x^2+1,y(-1)=e],y)
```
**Exercice**
Résoudre l'équation différentielle $$y'+y=\cos{(2t)}-\sin{(2t)}$$
**Exercices 8 à 18 pages 191-193**
#### **Travaux pratiques**
* **Exercice 30 page 194**
* **EA1 page 188**