6. Équations différentielles

Refroidissement d'un système

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TP CCF - Refroidissement d'un système.pdf

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Équations différentielles _ exercices et problèmes.pdf

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TP - Résolution d'équations différentielles

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TP-BTS-Équations différentielles.pdf

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TP-CCF "Disk orverflow"

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TP-CCF BTS SN2 - Disk overflow.pdf

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Data-stockage.csv

Jeux de données en ligne :

• Framacalc : https://lite.framacalc.org/qrmx9sw2x2-9yob

• Google sheet : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LpFTyPrtzihRqOLT9GSvTGAkcHkEkywibykcQsu0ZI0/edit?usp=sharing

Premières définitions

Dans une équation différentielle l'inconnue recherchée est une fonction.

• Par exemple, on cherche une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(t)=2\times f(t)\text{ pour tout } x\in\mathbb{R}\text{ et }f(0)=1$
• Ou bien encore une fonction $g$ dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ telle que $g'(t)\times g(t)=2t+1\text{ avec } g(0)=0$
• Une équation différentielle d'ordre 2 contient une dérivée seconde

$y''+y=x^2$

Échauffement : exercices 1 à 3 page 191

Aidez-vous de Xcas en ligne : https://www.xcasenligne.fr

Dérivation avec xcas

Utilisation des équations différentielles

Les équations différentielles permettent de modéliser de nombreux phénomènes.

• Taux d'alcoolémie : Le taux d'alcoolémie $f( t )$ (en $\text{g}⋅\text{L}^{−1}$) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie l'équation différentielle $y ′( t ) + y( t ) = a\times e^{− t}$ , où t ≥ 0 est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures) et a est une constante qui dépend de la quantité d'alcool ingérée et de la personne.
• Loi de Newton : La variation de la température $\theta$ d'un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : $\theta'(t)=\lambda(\theta_a-\theta(t))$, où $\theta_a$ est la température ambiante, $\lambda$ est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales et t est le temps, donné en minutes.
• Accroissement de "population" :

  • L'accroissement de la population P d'un pays est proportionnel à cette population. Q : la population double tous les 50 ans. Q : en combien de temps triple-t-elle ?

  • La désintégration radioactive : la vitesse de désintégration des atomes radioactifs est proportionnelle à la quantité de matière radioactive restante.

  • Cinétique chimique : quand la vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. Q : On place 20 g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10 g. Combien de temps faut-il encore attendre pour qu'il reste seulement 1 g ?

• Équation du mouvement d'un pendule : Si $\theta$ est l'angle entre le fil et la verticale du pendule, alors $\theta''+\dfrac{g}{l}\times\theta=0$ où $g$ est l'intensité de la force de pesanteur et $l$ la longueur du pendule.

En électronique

Équation différentielle de l'intensité du courant dans un circuit RL

Circuit RL

Équation différentielle de la tension dans un circuit RC

Circuit RC

Pour construire les circuits : http://www.falstad.com/circuit/

P1 page 177

Un type d'équations différentielles linéaires du premier ordre

Celles qui nous intéressent sont du type $ay'+by=c(t)$ avec $a\neq 0$ et $b$ deux nombres réels.

Théorème #1 - équation homogène

Les solutions de $ay'+by=0$ sont du type

$y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$

Animation GeoGebra

Exemples :

a) Dans chacun des cas donner toutes les solutions de

1. $2y'+3y=0$
2. $y'=-0,1y$
3. $y'-y=0$

b) Déterminer la solution de $y'-2,5y=0$ telle $y(0)=10$

Exercice 5 page 191

Théorème #2

Les solutions de $(E) : ay'+by=c(t)$ sont du type $y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}+y_p(t)\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$ où $y_p$ est une solution particulière de $(E)$.

Exemples :

Soit l'équation $(E):y'-2y=3t^2+1$

1. Chercher une solution particulière de $(E)$ de la forme $y_p(t)=At^2+Bt+C$
2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle homogène $(H):y'-2y=0$
3. En déduire la solution $y$ de $(E)$ telle que $y(-1)=e$

Correction

Commande GeoGebra : 
RésolEquaDiff(2y+3x^(2)+1,(0,ℯ^(2)))
Commande xCas :
desolve([y'-2y=3*x^2+1,y(-1)=e],y)

Exercice

Résoudre l'équation différentielle $y'+y=\cos{(2t)}-\sin{(2t)}$

Exercices 8 à 18 pages 191-193

Travaux pratiques

• Exercice 30 page 194

• EA1 page 188