6. Équations différentielles
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Dans une équation différentielle l'inconnue recherchée est une fonction.
Par exemple, on cherche une fonction dérivable sur telle que
Ou bien encore une fonction dérivable sur telle que
Une équation différentielle d'ordre 2 contient une dérivée seconde
Échauffement : exercices 1 à 3 page 191
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Les équations différentielles permettent de modéliser de nombreux phénomènes.
Taux d'alcoolémie : Le taux d'alcoolémie (en ) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie l'équation différentielle , où t ≥ 0 est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures) et a est une constante qui dépend de la quantité d'alcool ingérée et de la personne.
Loi de Newton : La variation de la température d'un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : , où est la température ambiante, est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales et t est le temps, donné en minutes.
Accroissement de "population" :
L'accroissement de la population P d'un pays est proportionnel à cette population. Q : la population double tous les 50 ans. Q : en combien de temps triple-t-elle ?
La désintégration radioactive : la vitesse de désintégration des atomes radioactifs est proportionnelle à la quantité de matière radioactive restante.
Cinétique chimique : quand la vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. Q : On place 20 g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10 g. Combien de temps faut-il encore attendre pour qu'il reste seulement 1 g ?
Équation du mouvement d'un pendule : Si est l'angle entre le fil et la verticale du pendule, alors où est l'intensité de la force de pesanteur et la longueur du pendule.
P1 page 177
Celles qui nous intéressent sont du type avec et deux nombres réels.
Les solutions de sont du type
Exemples :
a) Dans chacun des cas donner toutes les solutions de
b) Déterminer la solution de telle
Exercice 5 page 191
Les solutions de sont du type où est une solution particulière de .
Exemples :
Soit l'équation
Chercher une solution particulière de de la forme
Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle homogène
En déduire la solution de telle que
Exercice
Résoudre l'équation différentielle
Exercices 8 à 18 pages 191-193
Exercice 30 page 194
EA1 page 188