6. Équations différentielles

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Refroidissement d'un système

TP - Résolution d'équations différentielles

TP-CCF "Disk orverflow"

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Jeux de données en ligne :

Framacalc : https://lite.framacalc.org/qrmx9sw2x2-9yob
Google sheet : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LpFTyPrtzihRqOLT9GSvTGAkcHkEkywibykcQsu0ZI0/edit?usp=sharing

Premières définitions

Dans une équation différentielle l'inconnue recherchée est une fonction.

Par exemple, on cherche une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(t)=2\times f(t)\text{ pour tout } x\in\mathbb{R}\text{ et }f(0)=1$
Ou bien encore une fonction $g$ dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ telle que $g'(t)\times g(t)=2t+1\text{ avec } g(0)=0$
Une équation différentielle d'ordre 2 contient une dérivée seconde

$y''+y=x^2$

Échauffement : exercices 1 à 3 page 191

Aidez-vous de Xcas en ligne : https://www.xcasenligne.fr

Utilisation des équations différentielles

Les équations différentielles permettent de modéliser de nombreux phénomènes.

Taux d'alcoolémie : Le taux d'alcoolémie $f( t )$ (en $\text{g}⋅\text{L}^{−1}$ ) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie l'équation différentielle $y ′( t ) + y( t ) = a\times e^{− t}$ , où t ≥ 0 est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures) et a est une constante qui dépend de la quantité d'alcool ingérée et de la personne.
Loi de Newton : La variation de la température $\theta$ d'un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : $\theta'(t)=\lambda(\theta_a-\theta(t))$ , où $\theta_a$ est la température ambiante, $\lambda$ est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales et t est le temps, donné en minutes.
Accroissement de "population" :
- L'accroissement de la population P d'un pays est proportionnel à cette population. Q : la population double tous les 50 ans. Q : en combien de temps triple-t-elle ?
- La désintégration radioactive : la vitesse de désintégration des atomes radioactifs est proportionnelle à la quantité de matière radioactive restante.
- Cinétique chimique : quand la vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. Q : On place 20 g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10 g. Combien de temps faut-il encore attendre pour qu'il reste seulement 1 g ?
Équation du mouvement d'un pendule : Si $\theta$ est l'angle entre le fil et la verticale du pendule, alors $\theta''+\dfrac{g}{l}\times\theta=0$ où $g$ est l'intensité de la force de pesanteur et $l$ la longueur du pendule.

En électronique

Équation différentielle de l'intensité du courant dans un circuit RL

Équation différentielle de la tension dans un circuit RC

Pour construire les circuits : http://www.falstad.com/circuit/

P1 page 177

Un type d'équations différentielles linéaires du premier ordre

Celles qui nous intéressent sont du type $ay'+by=c(t)$ avec $a\neq 0$ et $b$ deux nombres réels.

Théorème #1 - équation homogène

Les solutions de $ay'+by=0$ sont du type

$y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$

Animation GeoGebra

Exemples :

a) Dans chacun des cas donner toutes les solutions de

$2y'+3y=0$
$y'=-0,1y$
$y'-y=0$

b) Déterminer la solution de $y'-2,5y=0$ telle $y(0)=10$

Exercice 5 page 191

Théorème #2

Les solutions de $(E) : ay'+by=c(t)$ sont du type $y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}+y_p(t)\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$ où $y_p$ est une solution particulière de $(E)$ .

Exemples :

Soit l'équation $(E):y'-2y=3t^2+1$

Chercher une solution particulière de $(E)$ de la forme $y_p(t)=At^2+Bt+C$
Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle homogène $(H):y'-2y=0$
En déduire la solution $y$ de $(E)$ telle que $y(-1)=e$

Correction

Commande GeoGebra : 
RésolEquaDiff(2y+3x^(2)+1,(0,ℯ^(2)))
Commande xCas :
desolve([y'-2y=3*x^2+1,y(-1)=e],y)

Exercice

Résoudre l'équation différentielle $y'+y=\cos{(2t)}-\sin{(2t)}$

Exercices 8 à 18 pages 191-193

Travaux pratiques

Exercice 30 page 194
EA1 page 188

Par exemple, on cherche une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(t)=2\times f(t)\text{ pour tout } x\in\mathbb{R}\text{ et }f(0)=1$

Ou bien encore une fonction $g$ dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ telle que $g'(t)\times g(t)=2t+1\text{ avec } g(0)=0$

$y''+y=x^2$

Taux d'alcoolémie : Le taux d'alcoolémie $f( t )$ (en $\text{g}⋅\text{L}^{−1}$ ) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie l'équation différentielle $y ′( t ) + y( t ) = a\times e^{− t}$ , où t ≥ 0 est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures) et a est une constante qui dépend de la quantité d'alcool ingérée et de la personne.

Loi de Newton : La variation de la température $\theta$ d'un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : $\theta'(t)=\lambda(\theta_a-\theta(t))$ , où $\theta_a$ est la température ambiante, $\lambda$ est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales et t est le temps, donné en minutes.

Équation du mouvement d'un pendule : Si $\theta$ est l'angle entre le fil et la verticale du pendule, alors $\theta''+\dfrac{g}{l}\times\theta=0$ où $g$ est l'intensité de la force de pesanteur et $l$ la longueur du pendule.

Celles qui nous intéressent sont du type $ay'+by=c(t)$ avec $a\neq 0$ et $b$ deux nombres réels.

Les solutions de $ay'+by=0$ sont du type

$y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$

$2y'+3y=0$

$y'=-0,1y$

$y'-y=0$

b) Déterminer la solution de $y'-2,5y=0$ telle $y(0)=10$

Les solutions de $(E) : ay'+by=c(t)$ sont du type $y:t\mapsto k\times e^{-\frac{b}{a}\times t}+y_p(t)\qquad\text{ avec }k\in\mathbb{R}$ où $y_p$ est une solution particulière de $(E)$ .

Soit l'équation $(E):y'-2y=3t^2+1$

Chercher une solution particulière de $(E)$ de la forme $y_p(t)=At^2+Bt+C$

Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle homogène $(H):y'-2y=0$

En déduire la solution $y$ de $(E)$ telle que $y(-1)=e$

Résoudre l'équation différentielle $y'+y=\cos{(2t)}-\sin{(2t)}$