On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes.
Q(x)=x−32x2−x+1
R(x)=(x−1)(x+2)1
S(z)=(z−1)2z
Décomposition en éléments simples - trois exemples
Exemple 1
Soit la fraction rationnelle Q(x)=x4+2x3−x2−2xx2−x−1
On factorise le numérateur avec Xcas :
factor(x^4+2x^3-x^2-2x)
x4+2x3−x2−2x=x(x+1)(x+2)(x−1)
Ainsi Q(x)=x(x+1)(x+2)(x−1)x2−x−1
0,−1,−2 et 1 sont quatre pôles simples de Q.
Ici, la théorie assure que l'on peut réécrire Q de façon unique de la façon suivante :
Q(x)=xa+x+1b+x+2c+x−1d
avec a, b, c et d quatre réels.
Méthode 1 : par identification
Méthode 2 : par multiplication
On vérifie avec Xcas :
(x^2-x-1)/(x^4+2x^3-x^2-2x) =>+
Exemple 2
Soit la fraction rationnelle R(x)=x2(x+1)(x2+1)1−x
Ici
−1 est une racine simple du dénominateur : c'est un pôle simple de R
0 est une racine double du dénominateur : c'est un pôle double de R
x2+1 ne possède pas de racine réelle
Alors la théorie assure que l'on peut réécrire R de façon unique de la façon suivante :
R(x)=xa+x2b+x+1c+x2+1dx+e
Méthode 1 : par identification
Méthode 2 : diverses techniques combinées
Multiplication pour les coefficients des pôles de multiplicité maximale
Racines complexes
Multiplier par x et faire tendre vers +∞
Remplacer par des valeurs particulières
Exemple 3
Soit la fraction rationnelle S(x)=x2+x−22x3−3x+2
Ici le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il faut dans un premier temps obtenir la partie entière de Q à l'aide d'une division euclidienne de polynômes.
