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# 3. Décomposition en éléments simples

## **Décomposition en éléments simples**

![DES.png](https://lh3.googleusercontent.com/-M6NuI8qD8Pg/Xb6l2WLsu3I/AAAAAAAACvc/wD5r4MUunBIGwcZzkPmsOYhr7K1hRKY1QCLcBGAsYHQ/s500/DES.png)

**Problème : ça coince ...**

Comment calculer $$\int\_1^2 \frac{1}{x^2+x},\text{d}x$$ ?

{% file src="/files/BFkrcigH6DE1bh3Q0Zu5" %}

```
Calcul formel (Xcas) : 
* Intégrer : integrate(1/(x^2+x),x,1,2) 
* Résoudre : solve(x^2+x,x)  
* Factoriser : factor(x^2+x) 
* Décomposer : 1/(x^2+x)=>+ 
```

<https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php>

## **Théorie**

**Définition**

On appelle **fraction rationnelle** le quotient de deux polynômes.

* $$Q(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{x-3}$$
* $$R(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$$
* $$S(z)=\dfrac{z}{(z-1)^2}$$

### **Décomposition en éléments simples - trois exemples**

#### **Exemple 1**

Soit la fraction rationnelle $$Q(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^4+2x^3-x^2-2x}$$

On factorise le numérateur avec Xcas :

```
factor(x^4+2x^3-x^2-2x)
```

$$x^4+2x^3-x^2-2x=x(x+1)(x+2)(x-1)$$

Ainsi $$Q(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x(x+1)(x+2)(x-1)}$$

$$0, -1, -2$$ et $$1$$ sont quatre **pôles simples** de $$Q$$.

Ici, la théorie assure que l'on peut réécrire $$Q$$ de façon unique de la façon suivante :

$$Q(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}+\dfrac{d}{x-1}$$

avec $$a$$, $$b$$, $$c$$ et $$d$$ quatre réels.

**Méthode 1 : par identification**

**Méthode 2 : par multiplication**

On vérifie avec Xcas :

```
(x^2-x-1)/(x^4+2x^3-x^2-2x) =>+ 
```

#### **Exemple 2**

Soit la fraction rationnelle $$R(x)=\dfrac{1-x}{x^2(x+1)(x^2+1)}$$

Ici

* $$-1$$ est une racine simple du dénominateur : c'est un **pôle simple** de $$R$$
* $$0$$ est une racine double du dénominateur : c'est un **pôle double** de $$R$$
* $$x^2+1$$ ne possède pas de racine réelle

Alors la théorie assure que l'on peut réécrire $$R$$ de façon unique de la façon suivante :

$$R(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{dx+e}{x^2+1}$$

**Méthode 1 : par identification**

**Méthode 2 : diverses techniques combinées**

* Multiplication pour les coefficients des pôles de multiplicité maximale
* Racines complexes
* Multiplier par $$x$$ et faire tendre vers $$+\infty$$
* Remplacer par des valeurs particulières

#### **Exemple 3**

Soit la fraction rationnelle $$S(x)=\dfrac{2x^3-3x+2}{x^2+x-2}$$

Ici le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il faut dans un premier temps obtenir la partie entière de $$Q$$ à l'aide d'une division euclidienne de polynômes.

```
Vérification avec Xcas : (2x^3-x+2)/(x^2+x-2)=>+ 
```

### **Exercices**

#### **Série #1** : Décomposer en éléments simples

* $$\dfrac{1}{(x+1)(x-2)}$$
* $$\dfrac{x}{(x-2)(x-1)^2}$$
* $$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)}\qquad$$ (Aide : $$\text{i}$$)
* $$\dfrac{1}{x^2(x^2+x+1)}\qquad$$ (Aide : $$\infty$$)

#### **Série #2** : Décomposer en éléments simples:

* $$\dfrac{x^4}{x^2-1}\qquad$$ (Aide : division)
* $$\dfrac{x+3}{x^4-5x^2+4}\qquad$$ (Aide : bicarrée)
* $$\dfrac{10x^2+12x+20}{x^3-8}$$
* $$\dfrac{1}{x^2(x-1)^2}$$
* $$\dfrac{25}{(x+2)(x^2+1)^2}$$

### **Application au calcul intégral**

**Exercices 23 et 24 page 155-156**