3. Décomposition en éléments simples

Décomposition en éléments simples

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Problème : ça coince ...

Comment calculer $\int_1^2 \frac{1}{x^2+x}\,\text{d}x$ ?

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Calcul formel (Xcas) : 
* Intégrer : integrate(1/(x^2+x),x,1,2) 
* Résoudre : solve(x^2+x,x)  
* Factoriser : factor(x^2+x) 
* Décomposer : 1/(x^2+x)=>+ 

https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php

Théorie

Définition

On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes.

• $Q(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{x-3}$
• $R(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$
• $S(z)=\dfrac{z}{(z-1)^2}$

Décomposition en éléments simples - trois exemples

Exemple 1

Soit la fraction rationnelle $Q(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^4+2x^3-x^2-2x}$

On factorise le numérateur avec Xcas :

factor(x^4+2x^3-x^2-2x)

$x^4+2x^3-x^2-2x=x(x+1)(x+2)(x-1)$

Ainsi $Q(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x(x+1)(x+2)(x-1)}$

$0, -1, -2$ et $1$ sont quatre pôles simples de $Q$.

Ici, la théorie assure que l'on peut réécrire $Q$ de façon unique de la façon suivante :

$Q(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}+\dfrac{d}{x-1}$

avec $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.

Méthode 1 : par identification

Méthode 2 : par multiplication

On vérifie avec Xcas :

(x^2-x-1)/(x^4+2x^3-x^2-2x) =>+ 

Exemple 2

Soit la fraction rationnelle $R(x)=\dfrac{1-x}{x^2(x+1)(x^2+1)}$

Ici

• $-1$ est une racine simple du dénominateur : c'est un pôle simple de $R$
• $0$ est une racine double du dénominateur : c'est un pôle double de $R$
• $x^2+1$ ne possède pas de racine réelle

Alors la théorie assure que l'on peut réécrire $R$ de façon unique de la façon suivante :

$R(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{dx+e}{x^2+1}$

Méthode 1 : par identification

Méthode 2 : diverses techniques combinées

• Multiplication pour les coefficients des pôles de multiplicité maximale

• Racines complexes

• Multiplier par $x$ et faire tendre vers $+\infty$
• Remplacer par des valeurs particulières

Exemple 3

Soit la fraction rationnelle $S(x)=\dfrac{2x^3-3x+2}{x^2+x-2}$

Ici le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il faut dans un premier temps obtenir la partie entière de $Q$ à l'aide d'une division euclidienne de polynômes.

Vérification avec Xcas : (2x^3-x+2)/(x^2+x-2)=>+ 

Exercices

Série #1 : Décomposer en éléments simples

• $\dfrac{1}{(x+1)(x-2)}$
• $\dfrac{x}{(x-2)(x-1)^2}$
• $\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)}\qquad$ (Aide : $\text{i}$)
• $\dfrac{1}{x^2(x^2+x+1)}\qquad$ (Aide : $\infty$)

Série #2 : Décomposer en éléments simples:

• $\dfrac{x^4}{x^2-1}\qquad$ (Aide : division)
• $\dfrac{x+3}{x^4-5x^2+4}\qquad$ (Aide : bicarrée)
• $\dfrac{10x^2+12x+20}{x^3-8}$
• $\dfrac{1}{x^2(x-1)^2}$
• $\dfrac{25}{(x+2)(x^2+1)^2}$

Application au calcul intégral

Exercices 23 et 24 page 155-156