3. Décomposition en éléments simples
Décomposition en éléments simples

Problème : ça coince ...
Comment calculer ?
Calcul formel (Xcas) :
* Intégrer : integrate(1/(x^2+x),x,1,2)
* Résoudre : solve(x^2+x,x)
* Factoriser : factor(x^2+x)
* Décomposer : 1/(x^2+x)=>+
https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php
Théorie
Définition
On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes.
Décomposition en éléments simples - trois exemples
Exemple 1
Soit la fraction rationnelle
On factorise le numérateur avec Xcas :
factor(x^4+2x^3-x^2-2x)
Ainsi
et sont quatre pôles simples de .
Ici, la théorie assure que l'on peut réécrire de façon unique de la façon suivante :
avec , , et quatre réels.
Méthode 1 : par identification
Méthode 2 : par multiplication
On vérifie avec Xcas :
(x^2-x-1)/(x^4+2x^3-x^2-2x) =>+
Exemple 2
Soit la fraction rationnelle
Ici
est une racine simple du dénominateur : c'est un pôle simple de
est une racine double du dénominateur : c'est un pôle double de
ne possède pas de racine réelle
Alors la théorie assure que l'on peut réécrire de façon unique de la façon suivante :
Méthode 1 : par identification
Méthode 2 : diverses techniques combinées
Multiplication pour les coefficients des pôles de multiplicité maximale
Racines complexes
Multiplier par et faire tendre vers
Remplacer par des valeurs particulières
Exemple 3
Soit la fraction rationnelle
Ici le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il faut dans un premier temps obtenir la partie entière de à l'aide d'une division euclidienne de polynômes.
Vérification avec Xcas : (2x^3-x+2)/(x^2+x-2)=>+
Exercices
Série #1 : Décomposer en éléments simples
(Aide : )
(Aide : )
Série #2 : Décomposer en éléments simples:
(Aide : division)
(Aide : bicarrée)
Application au calcul intégral
Exercices 23 et 24 page 155-156
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