3. Décomposition en éléments simples

Décomposition en éléments simples

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Problème : ça coince ...

Comment calculer 121x2+xdx\int_1^2 \frac{1}{x^2+x}\,\text{d}x ?

Calcul formel (Xcas) : 
* Intégrer : integrate(1/(x^2+x),x,1,2) 
* Résoudre : solve(x^2+x,x)  
* Factoriser : factor(x^2+x) 
* Décomposer : 1/(x^2+x)=>+ 

https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php

Théorie

Définition

On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes.

  • Q(x)=2x2x+1x3Q(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{x-3}

  • R(x)=1(x1)(x+2)R(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}

  • S(z)=z(z1)2S(z)=\dfrac{z}{(z-1)^2}

Décomposition en éléments simples - trois exemples

Exemple 1

Soit la fraction rationnelle Q(x)=x2x1x4+2x3x22xQ(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^4+2x^3-x^2-2x}

On factorise le numérateur avec Xcas :

factor(x^4+2x^3-x^2-2x)

x4+2x3x22x=x(x+1)(x+2)(x1)x^4+2x^3-x^2-2x=x(x+1)(x+2)(x-1)

Ainsi Q(x)=x2x1x(x+1)(x+2)(x1)Q(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x(x+1)(x+2)(x-1)}

0,1,20, -1, -2 et 11 sont quatre pôles simples de QQ.

Ici, la théorie assure que l'on peut réécrire QQ de façon unique de la façon suivante :

Q(x)=ax+bx+1+cx+2+dx1Q(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}+\dfrac{d}{x-1}

avec aa, bb, cc et dd quatre réels.

Méthode 1 : par identification

Méthode 2 : par multiplication

On vérifie avec Xcas :

(x^2-x-1)/(x^4+2x^3-x^2-2x) =>+ 

Exemple 2

Soit la fraction rationnelle R(x)=1xx2(x+1)(x2+1)R(x)=\dfrac{1-x}{x^2(x+1)(x^2+1)}

Ici

  • 1-1 est une racine simple du dénominateur : c'est un pôle simple de RR

  • 00 est une racine double du dénominateur : c'est un pôle double de RR

  • x2+1x^2+1 ne possède pas de racine réelle

Alors la théorie assure que l'on peut réécrire RR de façon unique de la façon suivante :

R(x)=ax+bx2+cx+1+dx+ex2+1R(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{dx+e}{x^2+1}

Méthode 1 : par identification

Méthode 2 : diverses techniques combinées

  • Multiplication pour les coefficients des pôles de multiplicité maximale

  • Racines complexes

  • Multiplier par xx et faire tendre vers ++\infty

  • Remplacer par des valeurs particulières

Exemple 3

Soit la fraction rationnelle S(x)=2x33x+2x2+x2S(x)=\dfrac{2x^3-3x+2}{x^2+x-2}

Ici le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il faut dans un premier temps obtenir la partie entière de QQ à l'aide d'une division euclidienne de polynômes.

Vérification avec Xcas : (2x^3-x+2)/(x^2+x-2)=>+ 

Exercices

Série #1 : Décomposer en éléments simples

  • 1(x+1)(x2)\dfrac{1}{(x+1)(x-2)}

  • x(x2)(x1)2\dfrac{x}{(x-2)(x-1)^2}

  • x(x2+1)(x1)\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)}\qquad (Aide : i\text{i})

  • 1x2(x2+x+1)\dfrac{1}{x^2(x^2+x+1)}\qquad (Aide : \infty)

Série #2 : Décomposer en éléments simples:

  • x4x21\dfrac{x^4}{x^2-1}\qquad (Aide : division)

  • x+3x45x2+4\dfrac{x+3}{x^4-5x^2+4}\qquad (Aide : bicarrée)

  • 10x2+12x+20x38\dfrac{10x^2+12x+20}{x^3-8}

  • 1x2(x1)2\dfrac{1}{x^2(x-1)^2}

  • 25(x+2)(x2+1)2\dfrac{25}{(x+2)(x^2+1)^2}

Application au calcul intégral

Exercices 23 et 24 page 155-156

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