Xcas

Exemple d'étude de fonction avec Xcas

https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php

ou bien https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html

On cherche à étudier la fonction $f(x)=2x-\dfrac{\ln(x)}{x^2}$​ sur $]0\;;\;+\infty[$

1 - Une fonction auxiliaire

Soit $g(x)=2x^3+2\ln(x)-1$ définie sur $]0\;;\;+\infty[$

a) Variations de g​

Donc $g'(x)=6x^2+\dfrac{2}{x}$ est strictement positive sur $]0\;;\;+\infty[$​

Ainsi $g$ est strictement croissante sur$]0\;;\;+\infty[$

b) signe de g

Le résultat précédent et la représentation graphique de $g$​ :

permettent d'assurer que $g(x)>0$​ sur $]\alpha\;;\;+\infty[$​ et $g(x)<0$​ sur $]0\;;\;\alpha[$​ avec $\alpha\approx 0,86$​

2 - étude de f

Limites

Variations

$f'(x)$​ est du signe de $g(x)=2x^3+2\ln(x)-1$​ sur $]0\;;\;+\infty[$ Donc, d'après l'étude de la fonction auxiliaire, $f'(x)>0$ sur $]\alpha\;;\;+\infty[$​ et $f'(x)<0$​ sur $]0\;;\;\alpha[$​.

Ainsi, $f$​est décroissante sur $]0\;;\;\alpha[$et croissante sur $]\alpha\;;\;+\infty[$​

Travaux pratiques

Procéder de la même manière avec $f(x)=x^2\ln(x)$sur $]0\;;\;+\infty[$ avec la fonction auxiliaire $g(x)=2\ln(x)+1$

Procéder de la même manière avec $f(x)=x^2+2-e^{3x}$ sur $\mathbb{R}$​ avec la fonction auxiliaire $g(x)=2x-3e^{3x}$