> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://arnaud-lierville.gitbook.io/bts-sn/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://arnaud-lierville.gitbook.io/bts-sn/cours/0.-derivation-rappels.md). # 0. Dérivation (rappels) ## **Nombre dérivé** #### Définition Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$, $$a\in I$$. On appelle **taux d'accroissement de** $$f$$ **entre** $$a$$ **et** $$a+h$$, où $$h\in\mathbb{R}$$, est le réel $$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ $$f$$ est dite **dérivable en** $$a$$ si le taux d'accroissement de $$f$$ entre $$a$$ et $$a+h$$ tend vers un réel $$\ell$$ lorsque $$h$$ tend vers $$0$$. On note alors $$f'(a)=\lim\_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell$$ Le réel $$f'(a)$$ est appelé **nombre dérivé de** $$f$$ **en** $$a$$. ## **Tangente** #### **Proposition** Si $$f$$ est **dérivable en** $$a$$, alors $$f'(a)$$ est le coefficient directeur de la tangente à $$\mathcal C\_f$$ au point d'abscisse $$a$$. #### **Proposition** Si $$f$$ est **dérivable en** $$a$$, alors $$T\_a : y = f'(a)\times (x-a) + f(a)$$ est l'équation de la tangente à $$\mathcal C\_f$$ au point d'abscisse $$a$$. [$$\bigstar$$ Illustration GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/TyEWg4CC) ![tangente.png](https://lh3.googleusercontent.com/-p4RGBWEsG0c/V_UNr1XgerI/AAAAAAAAAJk/ZN_v2-VqJI4czWPgaFcU586kXP-oldCdgCLcB/s0/tangente.png) $$\clubsuit,\clubsuit,\clubsuit;$$ **MÉTHODES** * Déterminer l'équation de la tangente à $$f:x\mapsto x^2$$ en 2 et en 0 ; * Déterminer l'équation de la tangente à $$h:x\mapsto \dfrac{1}{x}$$ en 1 ; * Déterminer l'équation de la tangente à $$r:x\mapsto \sqrt{x}$$ en 3. ## **Fonction dérivée** #### Définition Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$. Si $$f$$ est dérivable en tout $$x\in I$$, alors on note $$f'$$ et on appelle **fonction dérivée de** $$f$$**,** la fonction définie sur $$I$$ par : $$f':x\mapsto f'(x)$$ C'est la fonction qui a tout point $$x$$ de $$I$$ associe le coefficient directeur de la tangente à $$\mathcal C\_f$$ au point d'abscisse $$x$$. [$$\bigstar$$ Illustration GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/cFmvmc7E) ![derivée.png](https://lh3.googleusercontent.com/-t_Squtwb75U/V_URIY2eBlI/AAAAAAAAAJ0/vJp4zQ_-3tMAHKe11evBJ77Nrw4oGbVgwCLcB/s0/derive%25CC%2581e.png) #### **Dérivée des fonctions usuelles** | Fonction $$f$$ | Fonction $$f'$$ | $$f$$ définie sur | $$f$$ dérivable sur | | -------------------------------------- | --------------------------------- | :-----------------: | :-----------------: | | $$x\mapsto k$$ | $$x\mapsto 0$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | | $$x\mapsto m\times x+p$$ | $$x\mapsto m$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | | $$x\mapsto x^2$$ | $$x\mapsto 2x$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | | $$x\mapsto x^n$$ avec $$n\geqslant 2$$ | $$x\mapsto n\times x^{n-1}$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | | $$x\mapsto \dfrac{1}{x}$$ | $$x\mapsto \dfrac{-1}{x^2}$$ | $$\mathbb R-{0}$$ | $$\mathbb R-{0}$$ | | $$x\mapsto \sqrt{x}$$ | $$x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$ | $$\[0;;;+\infty\[$$ | $$]0;;;+\infty\[$$ | | $$x\mapsto e^x$$ | $$x\mapsto e^x$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | | $$x\mapsto\ln x$$ | $$x\mapsto \dfrac{1}{x}$$ | $$]0;;;+\infty\[$$ | $$]0;;;+\infty\[$$ | | $$x\mapsto\cos x$$ | $$x\mapsto-\sin{x}$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | | $$x\mapsto\sin{x}$$ | $$x\mapsto\cos{x}$$ | $$\mathbb R$$ | $$\mathbb R$$ | #### **Dérivées et opérations** Les formules **indispensables** pour pouvoir dériver quelques fonctions : * **La somme :** $$(u+v)'=u'+v'$$ * **Le produit :** $$(u\times v)'=u'\times v+u\times v'$$ * **L'inverse :** $$\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$$ * **Le quotient :** $$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$ * **Les puissances :** $$(u^n)'=n\times u^{n-1}\times u'$$ * **Les racines :** $$(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$$ * **Exponentielle**: $$(e^u)'=u'\times e^u$$ * **Logarithme** : $$(\ln{u})'=\dfrac{u'}{u}$$ * **Fonctions circulaires** :\ $$(\cos{(ax+b)})'=-a\times\sin{(ax+b)}$$\ $$(\sin(ax+b))'=a\times\cos(ax+b)$$ **Remarque :** cas particulier du produit par une **constante** : Si $$k$$ est un réel **constant**, on a $$(k\times u)'=k\times u'$$ $$\clubsuit,\clubsuit,\clubsuit;$$ **MÉTHODE :** Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : * $$f:x\mapsto x^3+\dfrac{1}{x}$$ * $$g:x\mapsto 7x^2$$ * $$h:x\mapsto x\sqrt{x}$$ * $$i:x\mapsto \dfrac{3}{x^2-7x+1}$$ * $$j:x\mapsto \dfrac{x-1}{x^2+1}$$ * $$k:x\mapsto (x^2+5)^3$$ * $$l:x\mapsto\ln(x^2+1)$$ * $$m:x\mapsto\sqrt{x^2+1}$$ * $$n:x\mapsto x^2e^{-3x}$$ ## **Problèmes et travaux pratiques** #### Problème 1 Soit $$f(x)=\sqrt{x}$$ et $$g(x)=ax^2+bx$$. Déterminer $$a$$ et $$b$$ pour que ces deux fonctions possèdent la même tangente au point d'abscisse $$1$$. ![tangente-commune.png](https://lh3.googleusercontent.com/-GUzZ5SCkSjs/WDMOdBx5wFI/AAAAAAAAAUg/vRKz9pwoId8yRVJyEoUnxzV32fLnY--FACLcB/s0/tangente-commune.png) #### Problème 2 Soit $$f(x)=\dfrac{2x+1}{2x-1}$$. Existe-t-il une autre tangente à $$\mathcal C\_f$$ parallèle à la tangente $$T\_1$$ à $$\mathcal C\_f$$ au point d'abscisse $$1$$ ? ![tangente-hyperbole.png](https://lh3.googleusercontent.com/-oNwiA5eInhA/WDMQCwcyd-I/AAAAAAAAAUw/aVIlVn7U7MsQjue4JpR-vTPGQkuUY7P0wCLcB/s0/tangente-hyperbole.png) ## **Variation et dérivation** ### **Théorème fondamental #1** Soit $$f$$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $$I$$. * $$f$$ est croissante sur $$I$$ **si et seulement si** $$f'(x)\geqslant 0$$ sur $$I$$ * $$f$$ est décroissante sur $$I$$ **si et seulement si** $$f'(x)\leqslant 0$$ sur $$I$$ * $$f$$ est constante sur $$I$$ **si et seulement si** $$f'(x)= 0$$ sur $$I$$ ### $$\clubsuit,\clubsuit,\clubsuit;$$ **MÉTHODE :** * Déterminer le sens de variation de $$f:x\mapsto 2x^3+3x^2-36x$$ sur $$\mathbb{R}$$ * Déterminer le sens de variation de $$h:x\mapsto \dfrac{1}{x}+x$$ sur $$\mathbb{R^{+\*}}$$ ## **Extremum d'un fonction** ### **Théorème fondamental #2** Soit $$f$$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle **ouvert** $$I$$. * Si $$f$$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $$a\in I$$ alors $$f'(a)=0$$. * Si la dérivée $$f'$$ s'annule **en changeant de signe** en $$a\in I$$, alors la fonction $$f$$ présente un extremum local (maximum ou minimum) en $$a$$. **Remarque** : un intervalle ouvert est un intervalle du type $$]c;;;d\[$$ 1. Faire deux figures illustrant chacun des deux cas. 2. Pourquoi a-t-on pris soin d'être sur un intervalle ouvert $$I$$ ? 3. Pour la deuxième assertion, que peut-il se passer si $$f'$$ ne change pas de signe ? Illustrer. ## **Stricte monotonie** Une version plus précise du **théorème #1** : Soit $$f$$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $$I$$. * Si $$f'(x)>0$$ sur $$I$$, alors $$f$$ est strictement croissante sur $$I$$ * Si $$f'(x)<0$$ sur $$I$$, alors $$f$$ est strictement décroissante sur $$I$$ * Si $$f$$ est strictement monotone sur $$I$$ alors $$f'(x)$$ est de signe constant et ne s'annule que de façon **isolée**.