5. Loi normale

Aide-mémoire et exercices

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Introduction : grandeurs et mesures

Si on regarde :

• la distribution des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse

• la distribution du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm

• la distribution des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près

nous allons observer (sous certaines conditions) une courbe en cloche :

cloche.png

Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser des variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues

Définition

Une variable aléatoire est continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle $I=[a\;;\;b]$ de $\mathbb{R}$.

Exemples

• la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse

• la mesure du poids des bûches d'un stère

Rappel

Une variable aléatoire est discrète si elle prend des valeurs entières. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire $X$ compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors $X$ prend ses valeurs dans $\{0\;;\;1\;;\;\cdots\;;\;n\}$.

Exercice 1 page 357

Définition

On appelle densité une fonction définie sur un intervalle $I=\mathbb{R}$ telle $f$ est

• définie, positive et continue sur $\mathbb{R}$
• intégrable sur $I$ avec $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=1$

Remarques

• $\int_a^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$
• $\int_{-\infty}^{b} f(x)\,\text{d}x=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

Définition

$X$ est une variable continue à densité s'il existe une densité $f$ telle que :

$P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\in[a\;;\;b])=\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

Remarques

Dans ce cas :

• $P(X=a)=P(a\leqslant X\leqslant a)=\int_a^a f(x)\,\text{d}x=0$
• $P(X\leqslant b)=\int_{-\infty}^b f(x)\,\text{d}x$

Remarque : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.

Loi normale

Définition : loi normale

On dit que $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ si sa densité est :

$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

On note $X\sim\mathcal N(\mu\;;\;\sigma)$

Exemple #1

Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance $\mu=30\,mm$ et d'écart-type $\sigma=2\,mm$.

On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre $27\, mm$ et $31\,mm$ :

$P(27\leqslant X\leqslant 31)=P(X\in[27\;;\;31])\approx0,625$

Sur TI 83 :

normale-ti-1.png

normale-ti-2.png

Sur Numworks :

normale-numworks-1.png

Avec GeoGebra :

normale-geogebra-1.png

Exercices 5 et 6 page 357

Exemple #2

$X$ suit suit une loi normale d'espérance $\mu=50$ et d'écart-type $\sigma=5$.

• Déterminer $t_1$ tel que $P(X\leqslant t)\approx 0,7$
• Déterminer $t_2$ tel que $P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx0,95$

Pout $t_1$ on trouve par tâtonnement :

inv-normale.png

Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :

$\Phi(x)=P(X\leqslant x)$

À l'aide de la TI :

Capturer 3.png

Capturer 1.png

Pour trouver $t_2$ il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a

$P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2) = 1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)$

symétrie.png

Reste à résoudre

$P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx 0,95$ $1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,95$ $P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,025$

Capturer 2.png

On trouve

$50-t_2\approx 40\Longleftrightarrow t_2\approx 10$

Exercice 7 page 358

Définition : loi normale centrée réduite

C'est le cas où $\mu=0$ (centrée), et $\sigma=1$ (réduite). $X\sim\mathcal N(0\;;\;1)$ soit

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$

Exercice 13 page 358

Règle des trois sigmas

Si $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ alors :

• $P(X\in[\mu-\sigma\;;\;\mu+\sigma])\approx0,68$
• $P(X\in[\mu-2\sigma\;;\;\mu+2\sigma])\approx0,95$
• $P(X\in[\mu-3\sigma\;;\;\mu+3\sigma])\approx0,99$

Animation GeoGebra

Exercices 8 et 9 page 358

D'où vient cette loi ?

Le théorème de Moivre-Laplace

$\to$ La planche de Galton

En math :

$\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(n\times p\;;\;{\sqrt{n\times p\times (1-p)}}\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$

$\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(\mu\;;\;\sigma\right)$avec $\mu=n\times p$ et $\sigma=\sqrt{n\times p\times (1-p)}$, quand $n$ tend vers $+\infty$

En français :

Quand $n$ est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.

$\diamond$ Illustration avec GeoGebra

Remarque : pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une correction de continuité (cf. exercices)

Exercices 10 et 11 page 358

Somme de variables indépendantes

Si $X\sim\mathcal{N}\left(\mu_X\;;\;{\sigma_X}\right)$ et $Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_Y\;;\;{\sigma_Y}\right)$ avec $X$ et $Y$ indépendantes alors $Z=X+Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_Z\;;\;{\sigma_Z}\right)$ avec $\mu_Z=\mu_X+\mu_Y$ et $\sigma_Z=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$.

Exemple

On monte en série deux résistances $R_1$ et $R_2$. La valeur en ohms de la résistance $R_1$ suit une loi normale d'espérance $180\,\Omega$ et d'écart-type $5\,\Omega$ et celle de $R_2$ suit une loi normale d'espérance $150\,\Omega$ et d'écart-type $10\,\Omega$. La résistance équivalente en ohms du circuit est $R=R_1+R_2$. Les variables $R_1$ et $R_2$ sont indépendantes.

1. On suppose que $R$ suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?
2. Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à $340\,\Omega$.

Exercice 14 page 359

Théorème de la limite centrée

Soit $X_1$, $X_2$, ... , $X_n$, n variables indépendantes, chacune d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

• Alors $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ suit approximativement une loi normale d'espérance $n\times\mu$ et d'écart-type $\sqrt{n}\times\sigma$
• Alors $Y_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ suit approximativement une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Animation GeoGebra - Théorème central limite

Lien vers l'animation GeoGebra

Exemple

La variable aléatoire $X$ mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note $\overline{X}$ la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.

Quelle est la loi de probabilité de $\overline{X}$ ?

Exercices 15 et 16 page 360-361