5. Loi normale
Aide-mémoire et exercices
Introduction : grandeurs et mesures
Si on regarde :
la distribution des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse
la distribution du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm
la distribution des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près
nous allons observer (sous certaines conditions) une courbe en cloche :
Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser des variables aléatoires continues
Variables aléatoires continues
Définition
Une variable aléatoire est continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle de .
Exemples
la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse
la mesure du poids des bûches d'un stère
Rappel
Une variable aléatoire est discrète si elle prend des valeurs entières. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors prend ses valeurs dans .
Exercice 1 page 357
Définition
On appelle densité une fonction définie sur un intervalle telle est
définie, positive et continue sur
intégrable sur avec
Remarques
Définition
est une variable continue à densité s'il existe une densité telle que :
Remarques
Dans ce cas :
Remarque : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.
Loi normale
Définition : loi normale
On dit que suit une loi normale d'espérance et d'écart-type si sa densité est :
On note
Exemple #1
Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance et d'écart-type .
On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre et :
Sur TI 83 :
Sur Numworks :
Avec GeoGebra :
Exercices 5 et 6 page 357
Exemple #2
suit suit une loi normale d'espérance et d'écart-type .
Déterminer tel que
Déterminer tel que
Pout on trouve par tâtonnement :
Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :
À l'aide de la TI :


Pour trouver il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a

Reste à résoudre

On trouve
Exercice 7 page 358
Définition : loi normale centrée réduite
C'est le cas où (centrée), et (réduite). soit
Exercice 13 page 358
Règle des trois sigmas
Si suit une loi normale d'espérance et d'écart-type alors :

Exercices 8 et 9 page 358
D'où vient cette loi ?
Le théorème de Moivre-Laplace
En math :
quand tend vers
avec et , quand tend vers
En français :
Quand est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.
Remarque : pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une correction de continuité (cf. exercices)
Exercices 10 et 11 page 358
Somme de variables indépendantes
Si et avec et indépendantes alors avec et .
Exemple
On monte en série deux résistances et . La valeur en ohms de la résistance suit une loi normale d'espérance et d'écart-type et celle de suit une loi normale d'espérance et d'écart-type . La résistance équivalente en ohms du circuit est . Les variables et sont indépendantes.
On suppose que suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?
Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à .
Exercice 14 page 359
Théorème de la limite centrée
Soit , , ... , , n variables indépendantes, chacune d'espérance et d'écart-type .
Alors suit approximativement une loi normale d'espérance et d'écart-type
Alors suit approximativement une loi normale d'espérance et d'écart-type
Exemple
La variable aléatoire mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.
Quelle est la loi de probabilité de ?
Exercices 15 et 16 page 360-361
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