5. Loi normale

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Aide-mémoire et exercices

Introduction : grandeurs et mesures

Si on regarde :

la distribution des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse
la distribution du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm
la distribution des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près

nous allons observer (sous certaines conditions) une courbe en cloche :

Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser des variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues

Définition

Une variable aléatoire est continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle $I=[a\;;\;b]$ de $\mathbb{R}$ .

Exemples

la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse
la mesure du poids des bûches d'un stère

Rappel

Une variable aléatoire est discrète si elle prend des valeurs entières. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire $X$ compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors $X$ prend ses valeurs dans $\{0\;;\;1\;;\;\cdots\;;\;n\}$ .

Exercice 1 page 357

Définition

On appelle densité une fonction définie sur un intervalle $I=\mathbb{R}$ telle $f$ est

définie, positive et continue sur $\mathbb{R}$
intégrable sur $I$ avec $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=1$

Remarques

$\int_a^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$
$\int_{-\infty}^{b} f(x)\,\text{d}x=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

Définition

$X$ est une variable continue à densité s'il existe une densité $f$ telle que :

$P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\in[a\;;\;b])=\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

Remarques

Dans ce cas :

$P(X=a)=P(a\leqslant X\leqslant a)=\int_a^a f(x)\,\text{d}x=0$
$P(X\leqslant b)=\int_{-\infty}^b f(x)\,\text{d}x$

Remarque : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.

Loi normale

Définition : loi normale

On dit que $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ si sa densité est :

$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

On note $X\sim\mathcal N(\mu\;;\;\sigma)$

Exemple #1

Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance $\mu=30\,mm$ et d'écart-type $\sigma=2\,mm$ .

On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre $27\, mm$ et $31\,mm$ :

$P(27\leqslant X\leqslant 31)=P(X\in[27\;;\;31])\approx0,625$

Sur TI 83 :

Sur Numworks :

Avec GeoGebra :

Exercices 5 et 6 page 357

Exemple #2

$X$ suit suit une loi normale d'espérance $\mu=50$ et d'écart-type $\sigma=5$ .

Déterminer $t_1$ tel que $P(X\leqslant t)\approx 0,7$
Déterminer $t_2$ tel que $P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx0,95$

Pout $t_1$ on trouve par tâtonnement :

Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :

$\Phi(x)=P(X\leqslant x)$

À l'aide de la TI :

Pour trouver $t_2$ il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a

$P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2) = 1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)$

Reste à résoudre

$P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx 0,95$ $1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,95$ $P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,025$

On trouve

$50-t_2\approx 40\Longleftrightarrow t_2\approx 10$

Exercice 7 page 358

Définition : loi normale centrée réduite

C'est le cas où $\mu=0$ (centrée), et $\sigma=1$ (réduite). $X\sim\mathcal N(0\;;\;1)$ soit

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$

Exercice 13 page 358

Règle des trois sigmas

Si $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ alors :

$P(X\in[\mu-\sigma\;;\;\mu+\sigma])\approx0,68$
$P(X\in[\mu-2\sigma\;;\;\mu+2\sigma])\approx0,95$
$P(X\in[\mu-3\sigma\;;\;\mu+3\sigma])\approx0,99$

Animation GeoGebra

Exercices 8 et 9 page 358

D'où vient cette loi ?

Le théorème de Moivre-Laplace

La planche de Galton

En math :

$\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(n\times p\;;\;{\sqrt{n\times p\times (1-p)}}\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$

$\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(\mu\;;\;\sigma\right)$ avec $\mu=n\times p$ et $\sigma=\sqrt{n\times p\times (1-p)}$ , quand $n$ tend vers $+\infty$

En français :

Quand $n$ est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.

Illustration avec GeoGebra

Remarque : pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une correction de continuité (cf. exercices)

Exercices 10 et 11 page 358

Somme de variables indépendantes

Si $X\sim\mathcal{N}\left(\mu_X\;;\;{\sigma_X}\right)$ et $Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_Y\;;\;{\sigma_Y}\right)$ avec $X$ et $Y$ indépendantes alors $Z=X+Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_Z\;;\;{\sigma_Z}\right)$ avec $\mu_Z=\mu_X+\mu_Y$ et $\sigma_Z=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$ .

Exemple

On monte en série deux résistances $R_1$ et $R_2$ . La valeur en ohms de la résistance $R_1$ suit une loi normale d'espérance $180\,\Omega$ et d'écart-type $5\,\Omega$ et celle de $R_2$ suit une loi normale d'espérance $150\,\Omega$ et d'écart-type $10\,\Omega$ . La résistance équivalente en ohms du circuit est $R=R_1+R_2$ . Les variables $R_1$ et $R_2$ sont indépendantes.

On suppose que $R$ suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?
Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à $340\,\Omega$ .

Exercice 14 page 359

Théorème de la limite centrée

Soit $X_1$ , $X_2$ , ... , $X_n$ , n variables indépendantes, chacune d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ .

Alors $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ suit approximativement une loi normale d'espérance $n\times\mu$ et d'écart-type $\sqrt{n}\times\sigma$
Alors $Y_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ suit approximativement une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Lien vers l'animation GeoGebra

Exemple

La variable aléatoire $X$ mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note $\overline{X}$ la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.

Quelle est la loi de probabilité de $\overline{X}$ ?

Exercices 15 et 16 page 360-361

Une variable aléatoire est continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle $I=[a\;;\;b]$ de $\mathbb{R}$ .

On appelle densité une fonction définie sur un intervalle $I=\mathbb{R}$ telle $f$ est

définie, positive et continue sur $\mathbb{R}$

intégrable sur $I$ avec $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=1$

$\int_a^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

$\int_{-\infty}^{b} f(x)\,\text{d}x=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

$X$ est une variable continue à densité s'il existe une densité $f$ telle que :

$P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\in[a\;;\;b])=\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

$P(X=a)=P(a\leqslant X\leqslant a)=\int_a^a f(x)\,\text{d}x=0$

$P(X\leqslant b)=\int_{-\infty}^b f(x)\,\text{d}x$

On dit que $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ si sa densité est :

$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

On note $X\sim\mathcal N(\mu\;;\;\sigma)$

Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance $\mu=30\,mm$ et d'écart-type $\sigma=2\,mm$ .

On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre $27\, mm$ et $31\,mm$ :

$P(27\leqslant X\leqslant 31)=P(X\in[27\;;\;31])\approx0,625$

$X$ suit suit une loi normale d'espérance $\mu=50$ et d'écart-type $\sigma=5$ .

Déterminer $t_1$ tel que $P(X\leqslant t)\approx 0,7$

Déterminer $t_2$ tel que $P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx0,95$

Pout $t_1$ on trouve par tâtonnement :

$\Phi(x)=P(X\leqslant x)$

Pour trouver $t_2$ il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a

$P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2) = 1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)$

$P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx 0,95$ $1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,95$ $P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,025$

$50-t_2\approx 40\Longleftrightarrow t_2\approx 10$

C'est le cas où $\mu=0$ (centrée), et $\sigma=1$ (réduite). $X\sim\mathcal N(0\;;\;1)$ soit

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$

Si $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ alors :

$P(X\in[\mu-\sigma\;;\;\mu+\sigma])\approx0,68$

$P(X\in[\mu-2\sigma\;;\;\mu+2\sigma])\approx0,95$

$P(X\in[\mu-3\sigma\;;\;\mu+3\sigma])\approx0,99$

$\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(n\times p\;;\;{\sqrt{n\times p\times (1-p)}}\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$

$\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(\mu\;;\;\sigma\right)$ avec $\mu=n\times p$ et $\sigma=\sqrt{n\times p\times (1-p)}$ , quand $n$ tend vers $+\infty$

Quand $n$ est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.

On suppose que $R$ suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?

Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à $340\,\Omega$ .

Soit $X_1$ , $X_2$ , ... , $X_n$ , n variables indépendantes, chacune d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ .

Alors $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ suit approximativement une loi normale d'espérance $n\times\mu$ et d'écart-type $\sqrt{n}\times\sigma$

Alors $Y_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ suit approximativement une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Quelle est la loi de probabilité de $\overline{X}$ ?