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# 5. Loi normale
## **Aide-mémoire et exercices**
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## **Introduction : grandeurs et mesures**
Si on regarde :
* **la distribution** des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse
* **la distribution** du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm
* **la distribution** des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près
nous allons observer *(sous certaines conditions)* une courbe en cloche :
Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser **des variables aléatoires continues**
## **Variables aléatoires continues**
**Définition**
Une variable aléatoire est **continue** si elle prend ses valeurs dans un intervalle $$I=\[a;;;b]$$ de $$\mathbb{R}$$.
**Exemples**
* la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse
* la mesure du poids des bûches d'un stère
**Rappel**
Une variable aléatoire est **discrète** si elle prend des valeurs **entières**. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire $$X$$ compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors $$X$$ prend ses valeurs dans $${0;;;1;;;\cdots;;;n}$$.
**Exercice 1 page 357**
**Définition**
On appelle **densité** une fonction définie sur un intervalle $$I=\mathbb{R}$$ telle $$f$$ est
* définie, positive et continue sur $$\mathbb{R}$$
* intégrable sur $$I$$ avec $$\int\_{-\infty}^{+\infty} f(x),\text{d}x=1$$
**Remarques**
* $$\int\_a^{+\infty} f(x),\text{d}x=\lim\_{b\to+\infty}\int\_a^b f(x),\text{d}x$$
* $$\int\_{-\infty}^{b} f(x),\text{d}x=\lim\_{a\to-\infty}\int\_a^b f(x),\text{d}x$$
**Définition**
$$X$$ est une variable **continue à densité** s'il existe une densité $$f$$ telle que :
$$P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\in\[a;;;b])=\int\_a^b f(x),\text{d}x$$
**Remarques**
Dans ce cas :
* $$P(X=a)=P(a\leqslant X\leqslant a)=\int\_a^a f(x),\text{d}x=0$$
* $$P(X\leqslant b)=\int\_{-\infty}^b f(x),\text{d}x$$
**Remarque** : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.
## **Loi normale**
**Définition : loi normale**
On dit que $$X$$ suit une loi normale d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\sigma$$ si sa densité est :
$$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
On note $$X\sim\mathcal N(\mu;;;\sigma)$$
#### **Exemple #1**
Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance $$\mu=30,mm$$ et d'écart-type $$\sigma=2,mm$$.
On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre $$27, mm$$ et $$31,mm$$ :
$$P(27\leqslant X\leqslant 31)=P(X\in\[27;;;31])\approx0,625$$
**Sur TI 83 :**
**Sur Numworks :**
**Avec GeoGebra :**
**Exercices 5 et 6 page 357**
#### **Exemple #2**
$$X$$ suit suit une loi normale d'espérance $$\mu=50$$ et d'écart-type $$\sigma=5$$.
* Déterminer $$t\_1$$ tel que $$P(X\leqslant t)\approx 0,7$$
* Déterminer $$t\_2$$ tel que $$P(50-t\_2\leqslant X\leqslant 50+t\_2)\approx0,95$$
Pout $$t\_1$$ on trouve par tâtonnement :
Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :
$$\Phi(x)=P(X\leqslant x)$$
 **À l'aide de la TI :**
Pour trouver $$t\_2$$ il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a
$$P(50-t\_2\leqslant X\leqslant 50+t\_2) = 1-2\times P(X\leqslant 50-t\_2)$$
Reste à résoudre
$$P(50-t\_2\leqslant X\leqslant 50+t\_2)\approx 0,95$$ $$1-2\times P(X\leqslant 50-t\_2)\approx 0,95$$ $$P(X\leqslant 50-t\_2)\approx 0,025$$
On trouve
$$50-t\_2\approx 40\Longleftrightarrow t\_2\approx 10$$
**Exercice 7 page 358**
**Définition : loi normale centrée réduite**
C'est le cas où $$\mu=0$$ (centrée), et $$\sigma=1$$ (réduite). $$X\sim\mathcal N(0;;;1)$$ soit
$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$$
**Exercice 13 page 358**
#### **Règle des trois sigmas**
Si $$X$$ suit une loi normale d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\sigma$$ alors :
* $$P(X\in\[\mu-\sigma;;;\mu+\sigma])\approx0,68$$
* $$P(X\in\[\mu-2\sigma;;;\mu+2\sigma])\approx0,95$$
* $$P(X\in\[\mu-3\sigma;;;\mu+3\sigma])\approx0,99$$
{% hint style="success" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/rknpjrap)
{% endhint %}
**Exercices 8 et 9 page 358**
## **D'où vient cette loi ?**
#### **Le théorème de Moivre-Laplace**
[$$\to$$ **La planche de Galton**](https://images.math.cnrs.fr/media/48/video.mp4)
**En math :**
$$\mathcal{B}(n;;;p)\to\mathcal{N}\left(n\times p;;;{\sqrt{n\times p\times (1-p)}}\right)$$ quand $$n$$ tend vers $$+\infty$$
$$\mathcal{B}(n;;;p)\to\mathcal{N}\left(\mu;;;\sigma\right)$$avec $$\mu=n\times p$$ et $$\sigma=\sqrt{n\times p\times (1-p)}$$, quand $$n$$ tend vers $$+\infty$$
**En français :**
Quand $$n$$ est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.
[$$\diamond$$ **Illustration avec GeoGebra**](https://www.geogebra.org/classic)
**Remarque :** pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une **correction de continuité** (cf. exercices)
**Exercices 10 et 11 page 358**
#### **Somme de variables indépendantes**
Si $$X\sim\mathcal{N}\left(\mu\_X;;;{\sigma\_X}\right)$$ et $$Y\sim\mathcal{N}\left(\mu\_Y;;;{\sigma\_Y}\right)$$ avec $$X$$ et $$Y$$ indépendantes alors $$Z=X+Y\sim\mathcal{N}\left(\mu\_Z;;;{\sigma\_Z}\right)$$ avec $$\mu\_Z=\mu\_X+\mu\_Y$$ et $$\sigma\_Z=\sqrt{\sigma\_X^2+\sigma\_Y^2}$$.
**Exemple**
On monte en série deux résistances $$R\_1$$ et $$R\_2$$. La valeur en ohms de la résistance $$R\_1$$ suit une loi normale d'espérance $$180,\Omega$$ et d'écart-type $$5,\Omega$$ et celle de $$R\_2$$ suit une loi normale d'espérance $$150,\Omega$$ et d'écart-type $$10,\Omega$$. La résistance équivalente en ohms du circuit est $$R=R\_1+R\_2$$. Les variables $$R\_1$$ et $$R\_2$$ sont *indépendantes*.
1. On suppose que $$R$$ suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?
2. Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à $$340,\Omega$$.
**Exercice 14 page 359**
#### **Théorème de la limite centrée**
Soit $$X\_1$$, $$X\_2$$, ... , $$X\_n$$, n variables **indépendantes**, chacune d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\sigma$$.
* Alors $$S\_n=X\_1+X\_2+\cdots+X\_n$$ suit approximativement une loi normale d'espérance $$n\times\mu$$ et d'écart-type $$\sqrt{n}\times\sigma$$
* Alors $$Y\_n=\dfrac{X\_1+X\_2+\cdots+X\_n}{n}$$ suit approximativement une loi normale d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
{% embed url="" %}
Animation GeoGebra - Théorème central limite
{% endembed %}
{% hint style="success" %}
[**Lien vers l'animation GeoGebra**](https://www.geogebra.org/classic/bxwjguxc)
{% endhint %}
**Exemple**
La variable aléatoire $$X$$ mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note $$\overline{X}$$ la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.
Quelle est la loi de probabilité de $$\overline{X}$$ ?
**Exercices 15 et 16 page 360-361**