5. Loi normale

Aide-mémoire et exercices

Introduction : grandeurs et mesures

Si on regarde :

  • la distribution des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse

  • la distribution du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm

  • la distribution des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près

nous allons observer (sous certaines conditions) une courbe en cloche :

cloche.png

Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser des variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues

Définition

Une variable aléatoire est continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle I=[a  ;  b]I=[a\;;\;b] de R\mathbb{R}.

Exemples

  • la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse

  • la mesure du poids des bûches d'un stère

Rappel

Une variable aléatoire est discrète si elle prend des valeurs entières. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire XX compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors XX prend ses valeurs dans {0  ;  1  ;    ;  n}\{0\;;\;1\;;\;\cdots\;;\;n\}.

Exercice 1 page 357

Définition

On appelle densité une fonction définie sur un intervalle I=RI=\mathbb{R} telle ff est

  • définie, positive et continue sur R\mathbb{R}

  • intégrable sur II avec +f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=1

Remarques

  • a+f(x)dx=limb+abf(x)dx\int_a^{+\infty} f(x)\,\text{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x

  • bf(x)dx=limaabf(x)dx\int_{-\infty}^{b} f(x)\,\text{d}x=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,\text{d}x

Définition

XX est une variable continue à densité s'il existe une densité ff telle que :

P(aXb)=P(X[a  ;  b])=abf(x)dxP(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\in[a\;;\;b])=\int_a^b f(x)\,\text{d}x

Remarques

Dans ce cas :

  • P(X=a)=P(aXa)=aaf(x)dx=0P(X=a)=P(a\leqslant X\leqslant a)=\int_a^a f(x)\,\text{d}x=0

  • P(Xb)=bf(x)dxP(X\leqslant b)=\int_{-\infty}^b f(x)\,\text{d}x

Remarque : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.

Loi normale

Définition : loi normale

On dit que XX suit une loi normale d'espérance μ\mu et d'écart-type σ\sigma si sa densité est :

f(x)=1σ2πe12×(xμσ)2f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

On note XN(μ  ;  σ)X\sim\mathcal N(\mu\;;\;\sigma)

Exemple #1

Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance μ=30mm\mu=30\,mm et d'écart-type σ=2mm\sigma=2\,mm.

On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre 27mm27\, mm et 31mm31\,mm :

P(27X31)=P(X[27  ;  31])0,625P(27\leqslant X\leqslant 31)=P(X\in[27\;;\;31])\approx0,625

Sur TI 83 :

normale-ti-1.png
normale-ti-2.png

Sur Numworks :

normale-numworks-1.png

Avec GeoGebra :

normale-geogebra-1.png

Exercices 5 et 6 page 357

Exemple #2

XX suit suit une loi normale d'espérance μ=50\mu=50 et d'écart-type σ=5\sigma=5.

  • Déterminer t1t_1 tel que P(Xt)0,7P(X\leqslant t)\approx 0,7

  • Déterminer t2t_2 tel que P(50t2X50+t2)0,95P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx0,95

Pout t1t_1 on trouve par tâtonnement :

inv-normale.png

Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :

Φ(x)=P(Xx)\Phi(x)=P(X\leqslant x)

inv-normale-2.png À l'aide de la TI :

Capturer 3.png
Capturer 1.png

Pour trouver t2t_2 il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a

P(50t2X50+t2)=12×P(X50t2)P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2) = 1-2\times P(X\leqslant 50-t_2)

symétrie.png

Reste à résoudre

P(50t2X50+t2)0,95P(50-t_2\leqslant X\leqslant 50+t_2)\approx 0,95 12×P(X50t2)0,951-2\times P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,95 P(X50t2)0,025P(X\leqslant 50-t_2)\approx 0,025

Capturer 2.png

On trouve

50t240t21050-t_2\approx 40\Longleftrightarrow t_2\approx 10

Exercice 7 page 358

Définition : loi normale centrée réduite

C'est le cas où μ=0\mu=0 (centrée), et σ=1\sigma=1 (réduite). XN(0  ;  1)X\sim\mathcal N(0\;;\;1) soit

f(x)=12πex22f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}

Exercice 13 page 358

Règle des trois sigmas

Si XX suit une loi normale d'espérance μ\mu et d'écart-type σ\sigma alors :

  • P(X[μσ  ;  μ+σ])0,68P(X\in[\mu-\sigma\;;\;\mu+\sigma])\approx0,68

  • P(X[μ2σ  ;  μ+2σ])0,95P(X\in[\mu-2\sigma\;;\;\mu+2\sigma])\approx0,95

  • P(X[μ3σ  ;  μ+3σ])0,99P(X\in[\mu-3\sigma\;;\;\mu+3\sigma])\approx0,99

Exercices 8 et 9 page 358

D'où vient cette loi ?

Le théorème de Moivre-Laplace

\to La planche de Galton

En math :

B(n  ;  p)N(n×p  ;  n×p×(1p))\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(n\times p\;;\;{\sqrt{n\times p\times (1-p)}}\right) quand nn tend vers ++\infty

B(n  ;  p)N(μ  ;  σ)\mathcal{B}(n\;;\;p)\to\mathcal{N}\left(\mu\;;\;\sigma\right)avec μ=n×p\mu=n\times p et σ=n×p×(1p)\sigma=\sqrt{n\times p\times (1-p)}, quand nn tend vers ++\infty

En français :

Quand nn est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.

\diamond Illustration avec GeoGebra

Remarque : pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une correction de continuité (cf. exercices)

Exercices 10 et 11 page 358

Somme de variables indépendantes

Si XN(μX  ;  σX)X\sim\mathcal{N}\left(\mu_X\;;\;{\sigma_X}\right) et YN(μY  ;  σY)Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_Y\;;\;{\sigma_Y}\right) avec XX et YY indépendantes alors Z=X+YN(μZ  ;  σZ)Z=X+Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_Z\;;\;{\sigma_Z}\right) avec μZ=μX+μY\mu_Z=\mu_X+\mu_Y et σZ=σX2+σY2\sigma_Z=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}.

Exemple

On monte en série deux résistances R1R_1 et R2R_2. La valeur en ohms de la résistance R1R_1 suit une loi normale d'espérance 180Ω180\,\Omega et d'écart-type 5Ω5\,\Omega et celle de R2R_2 suit une loi normale d'espérance 150Ω150\,\Omega et d'écart-type 10Ω10\,\Omega. La résistance équivalente en ohms du circuit est R=R1+R2R=R_1+R_2. Les variables R1R_1 et R2R_2 sont indépendantes.

  1. On suppose que RR suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?

  2. Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à 340Ω340\,\Omega.

Exercice 14 page 359

Théorème de la limite centrée

Soit X1X_1, X2X_2, ... , XnX_n, n variables indépendantes, chacune d'espérance μ\mu et d'écart-type σ\sigma.

  • Alors Sn=X1+X2++XnS_n=X_1+X_2+\cdots+X_n suit approximativement une loi normale d'espérance n×μn\times\mu et d'écart-type n×σ\sqrt{n}\times\sigma

  • Alors Yn=X1+X2++XnnY_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} suit approximativement une loi normale d'espérance μ\mu et d'écart-type σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Animation GeoGebra - Théorème central limite

Exemple

La variable aléatoire XX mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note X\overline{X} la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.

Quelle est la loi de probabilité de X\overline{X} ?

Exercices 15 et 16 page 360-361

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