la distribution des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse
la distribution du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm
la distribution des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près
nous allons observer (sous certaines conditions) une courbe en cloche :
cloche.png
Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser des variables aléatoires continues
Variables aléatoires continues
Définition
Une variable aléatoire est continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle I=[a;b] de R.
Exemples
la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse
la mesure du poids des bûches d'un stère
Rappel
Une variable aléatoire est discrète si elle prend des valeurs entières. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire X compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors X prend ses valeurs dans {0;1;⋯;n}.
Exercice 1 page 357
Définition
On appelle densité une fonction définie sur un intervalle I=R telle f est
définie, positive et continue sur R
intégrable sur I avec ∫−∞+∞f(x)dx=1
Remarques
∫a+∞f(x)dx=limb→+∞∫abf(x)dx
∫−∞bf(x)dx=lima→−∞∫abf(x)dx
Définition
X est une variable continue à densité s'il existe une densité f telle que :
P(a⩽X⩽b)=P(X∈[a;b])=∫abf(x)dx
Remarques
Dans ce cas :
P(X=a)=P(a⩽X⩽a)=∫aaf(x)dx=0
P(X⩽b)=∫−∞bf(x)dx
Remarque : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.
Loi normale
Définition : loi normale
On dit que X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ si sa densité est :
f(x)=σ2π1e−21×(σx−μ)2
On note X∼N(μ;σ)
Exemple #1
Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance μ=30mm et d'écart-type σ=2mm.
On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre 27mm et 31mm :
P(27⩽X⩽31)=P(X∈[27;31])≈0,625
Sur TI 83 :
Sur Numworks :
Avec GeoGebra :
Exercices 5 et 6 page 357
Exemple #2
X suit suit une loi normale d'espérance μ=50 et d'écart-type σ=5.
Déterminer t1 tel que P(X⩽t)≈0,7
Déterminer t2 tel que P(50−t2⩽X⩽50+t2)≈0,95
Pout t1 on trouve par tâtonnement :
Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :
Φ(x)=P(X⩽x)
Pour trouver t2 il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a
B(n;p)→N(μ;σ)avec μ=n×p et σ=n×p×(1−p), quand n tend vers +∞
En français :
Quand n est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.
Remarque : pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une correction de continuité (cf. exercices)
Exercices 10 et 11 page 358
Somme de variables indépendantes
Si X∼N(μX;σX) et Y∼N(μY;σY) avec X et Y indépendantes alors Z=X+Y∼N(μZ;σZ) avec μZ=μX+μY et σZ=σX2+σY2.
Exemple
On monte en série deux résistances R1 et R2. La valeur en ohms de la résistance R1 suit une loi normale d'espérance 180Ω et d'écart-type 5Ω et celle de R2 suit une loi normale d'espérance 150Ω et d'écart-type 10Ω. La résistance équivalente en ohms du circuit est R=R1+R2. Les variables R1 et R2 sont indépendantes.
On suppose que R suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?
Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à 340Ω.
Exercice 14 page 359
Théorème de la limite centrée
Soit X1, X2, ... , Xn, n variables indépendantes, chacune d'espérance μ et d'écart-type σ.
Alors Sn=X1+X2+⋯+Xn suit approximativement une loi normale d'espérance n×μ et d'écart-type n×σ
Alors Yn=nX1+X2+⋯+Xn suit approximativement une loi normale d'espérance μ et d'écart-type nσ
La variable aléatoire X mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note X la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.