# 7. Ensemble de points {% file src="/files/p1fHtXOoD1fM60D9wJVZ" %} ## Ensemble de points Un problème : 1. Trouver tous les points $$M(x , y)$$ tels que $$2x-7y=1$$. 2. Que peut-on dire de ces points ? 3. Et avec $$3x=4$$? 4. Et avec 4y = 8 ? {% embed url="" %} {% embed url="" %} ## Définition**s** **Sur notre exemple** * $$2x-y=7\Longleftrightarrow y=2x-7$$ * $$3x + 0y=4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$$ * $$0x+4y=8\Longleftrightarrow y=2$$ On appelle **équation cartésienne** de droite $$(d)$$ une équation de la forme $$ax+by=c$$ avec $$a$$ et $$b$$ deux nombres réels non tous les deux nuls. On appelle **équation réduite** de droite $$(d)$$une équation de la forme $$y=mx+p$$ ou $$x=k$$. ## Equations réduites de droites Soit $$m$$ et $$p$$ deux réels. Alors $$(d):y=mx+p$$ est une **équation réduite** de droite du plan. * $$m$$ est appelé **coefficient directeur** de $$(d)$$. (*slope* en anglais). * $$p$$ est appelé **ordonnées à l'origine** de $$(d)$$. ( *y*-*intercept en anglais)* {% hint style="success" %} Exercices 19, 24, 26, 9, 12, 15 {% endhint %} {% tabs %} {% tab title="Corrections/indications" %} ![](/files/-MVQ1IzzdXmF1GI6dlBV) {% endtab %} {% tab title="Ex 19, 24 et 26" %} ![](/files/-MVQ1RzjWLG67WYfXZ_6) {% endtab %} {% tab title="Exercice 9" %} ![](/files/-MVQ2zaXJ4QJryakNvvZ) {% endtab %} {% tab title="Ex 12" %} ![](/files/-MVQ32UeVpJ1uRzNCwzM) {% endtab %} {% tab title="Ex 15" %} ![](/files/-MVQ36EW9FF_t9PMVDoM) {% endtab %} {% endtabs %} ## Triangle et nombre ![](/files/jXNaceYpggjhG7uC1Z1w) {% hint style="info" %} [Animation GeoGebra : triangle et nombre](https://www.geogebra.org/classic/emmmfgu7) {% endhint %} ## **Par deux points passe une droite ...** ![Retrouver l'équation de droite !](/files/-Lz3gnIp9rwwZktT-ipQ) {% embed url="" %} {% hint style="success" %} {% endhint %} {% hint style="info" %} On récapitule :\ {% endhint %} {% hint style="success" %} Exercices 41, 42, 7, 8, 43, 44 Exercices 5, 6, 38, 39, 40 {% endhint %} ## Par le calcul **Proposition** Soit $$A(x\_A;;;y\_A)$$ et $$B(x\_B;;;y\_B)$$ deux points dans un repère. Alors, si $$x\_A\neq x\_B$$, alors la droite $$(AB)$$ est non parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur (sa pente) se calcule à l'aide de la formule : $$m=\dfrac{y\_B-y\_A}{x\_B-x\_A}$$ **Exemple** Soit $$A(-4;;;5)$$ et $$B(2;;;23)$$ **.** $$-4\neq2$$ donc la droite $$(AB)$$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est de la forme $$(AB):y=mx+p$$ * On calcule $$m$$:\ $$m=\dfrac{23-5}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3$$\ Donc $$(AB):y=3x+p$$ * Pour trouver la valeur du nombre $$p$$ on remplace $$x$$ et $$y$$ par les coordonnées de $$A$$ou $$B$$:\ $$5=3\times{(-2)}+p\Longleftrightarrow p=11$$ Ainsi $$(AB):y=3x+11$$ **Exercices** Calculer l'équation de chacune des droites suivantes et les représenter dans à l'aide de la calculatrice : 1. $$(AB)$$ avec $$A(8;;;6)$$ et $$B(4;;;4)$$ 2. $$(CD)$$ avec $$C(3;;;6)$$ et $$C(-3;;;2)$$ 3. $$(EF)$$ avec $$E(2;;;-1)$$ et $$F(-1;;;1)$$ 4. $$(GH)$$ avec $$G(2;;;2)$$ et $$H(5;;;5)$$ 5. $$(IJ)$$ avec $$E(-1;;;3)$$ et $$F(-1;;;2)$$ {% tabs %} {% tab title="Solutions" %} ![](/files/-MWcEHrIyNSE2MLUTZ-F) {% endtab %} {% tab title="Les 5 équations de droites" %} ![](/files/-MWcEMdBsx-qqtLFg52c) {% endtab %} {% endtabs %} {% hint style="success" %} Exercices 9, 45, 46, 47\ Exercices 11, 48, 49, 50, 51, 71 {% endhint %} ## **Alignement, parallélisme** **Deux questions** 1. Deux droites étants données par leurs équations réduites, comment savoir si elles sont sécantes ou parallèles ? 2. Trois points étants données par leurs coordonnées, comment savoir s'ils sont alignés ? {% hint style="info" %} **À retenir** * Deux droites de type $$y=mx+p$$sont parallèles entre elles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux * Pour montrer que trois points distincts$$A$$, $$B$$ et $$C$$ sont alignés, il suffit de démontrer que les coefficients directeurs des droites $$(AB)$$ et $$(AC)$$sont égaux. {% endhint %} {% hint style="success" %} Exercices 44 et 46\ Exercices 34 et 35\ Exercices 36, 38, 81 et 91 {% endhint %} ## Intersections d'une droite avec les axes du repère #### **Exemples :** Dans chaque chaque déterminer l'intersection des droites avec les axes du repère : 1. $$(d):y=2x-1$$ 2. $$(d):y=\dfrac{x}{3}+2$$ 3. $$(\Delta):x=5$$ **Par calcul (pour le 1.)** * On cherche les coordonnées du point d'intersection $$I$$de $$(d)$$ et de l'axe des abscisses. \ On pose $$I(x\_I;;;y\_I)$$. Comme $$I$$appartient à l'axe des abscisses, $$y\_I=0$$. Donc, comme $$I$$appartient aussi à $$(d)$$, on a $$0=2x\_I-1$$et donc en résolvant l'équation $$x\_I=0,5$$. Ainsi $$I(0,5;;;0)$$. * On cherche les coordonnées du point d'intersection $$J$$de $$(d)$$ et de l'axe des ordonnées.\ On pose $$J(x\_J;;;y\_J)$$. Comme $$J$$appartient à l'axe des ordonnées, $$x\_J=0$$. Donc comme $$J$$appartient aussi à $$(d)$$, on a $$y\_J=2\times 0-1=-1$$ et ainsi $$J(0;;;-1)$$. ## Intersections de deux droites **Problème** Les deux droites $$(d\_1):y=3x+4$$ et $$(d\_2):y=-2x-11$$ se coupent-elles ?\ Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection. **Correction** $$3\neq-2$$ donc les deux droites $$(d\_1)$$ et $$(d\_2)$$ ne sont pas parallèles. Elles se coupent donc en un point $$I(x;;;y)$$ dont les coordonnées $$x$$ et $$y$$vérifient les deux équations de droites. Il faut donc résoudre **le système d'équations** suivant : $$\left{\begin{array}{l}y=3x+4\y=-2x-11\\\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}-2x-11=3x+4\y=-2x-11\\\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}-2x-3x=4+11\y=-2x-11\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}-5x=15\y=-2x-11\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}x=-3\y=-2\times-3-11\\\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}x=-3\y=-5\\\end{array}\right.$$ Ainsi le point d'intersection des deux droites $$(d\_1)$$et $$(d\_2)$$ a pour coordonnées $$I(-3;;;-5)$$. {% hint style="success" %} Exercices 52, 80, 50 {% endhint %} --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://arnaud-lierville.gitbook.io/seconde/cours/ensemble-de-points.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.