7. Ensemble de points

Ensemble de points

Un problème :

  1. Trouver tous les points M(x,y)M(x , y) tels que 2x7y=12x-7y=1.

  2. Que peut-on dire de ces points ?

  3. Et avec 3x=43x=4?

  4. Et avec 4y = 8 ?

Définitions

Sur notre exemple

  • 2xy=7y=2x72x-y=7\Longleftrightarrow y=2x-7

  • 3x+0y=4x=433x + 0y=4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}

  • 0x+4y=8y=20x+4y=8\Longleftrightarrow y=2

On appelle équation cartésienne de droite (d)(d) une équation de la forme ax+by=cax+by=c avec aa et bb deux nombres réels non tous les deux nuls.

On appelle équation réduite de droite (d)(d)une équation de la forme y=mx+py=mx+p ou x=kx=k.

Equations réduites de droites

Soit mm et pp deux réels.

Alors (d):y=mx+p(d):y=mx+p est une équation réduite de droite du plan.

  • mm est appelé coefficient directeur de (d)(d). (slope en anglais).

  • pp est appelé ordonnées à l'origine de (d)(d). ( y-intercept en anglais)

Triangle et nombre

Par deux points passe une droite ...

Retrouver l'équation de droite !

Par le calcul

Proposition

Soit A(xA  ;  yA)A(x_A\;;\;y_A) et B(xB  ;  yB)B(x_B\;;\;y_B) deux points dans un repère.

Alors, si xAxBx_A\neq x_B, alors la droite (AB)(AB) est non parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur (sa pente) se calcule à l'aide de la formule :

m=yByAxBxAm=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Exemple

Soit A(4  ;  5)A(-4\;;\;5) et B(2  ;  23)B(2\;;\;23) .

42-4\neq2 donc la droite (AB)(AB) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

Son équation est de la forme (AB):y=mx+p(AB):y=mx+p

  • On calcule mm: m=2352(4)=186=3m=\dfrac{23-5}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3 Donc (AB):y=3x+p(AB):y=3x+p

  • Pour trouver la valeur du nombre pp on remplace xx et yy par les coordonnées de AAou BB: 5=3×(2)+pp=115=3\times{(-2)}+p\Longleftrightarrow p=11

Ainsi (AB):y=3x+11(AB):y=3x+11

Exercices

Calculer l'équation de chacune des droites suivantes et les représenter dans à l'aide de la calculatrice :

  1. (AB)(AB) avec A(8  ;  6)A(8\;;\;6) et B(4  ;  4)B(4\;;\;4)

  2. (CD)(CD) avec C(3  ;  6)C(3\;;\;6) et C(3  ;  2)C(-3\;;\;2)

  3. (EF)(EF) avec E(2  ;  1)E(2\;;\;-1) et F(1  ;  1)F(-1\;;\;1)

  4. (GH)(GH) avec G(2  ;  2)G(2\;;\;2) et H(5  ;  5)H(5\;;\;5)

  5. (IJ)(IJ) avec E(1  ;  3)E(-1\;;\;3) et F(1  ;  2)F(-1\;;\;2)

Alignement, parallélisme

Deux questions

  1. Deux droites étants données par leurs équations réduites, comment savoir si elles sont sécantes ou parallèles ?

  2. Trois points étants données par leurs coordonnées, comment savoir s'ils sont alignés ?

À retenir

  • Deux droites de type y=mx+py=mx+psont parallèles entre elles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux

  • Pour montrer que trois points distinctsAA, BB et CC sont alignés, il suffit de démontrer que les coefficients directeurs des droites (AB)(AB) et (AC)(AC)sont égaux.

Intersections d'une droite avec les axes du repère

Exemples :

Dans chaque chaque déterminer l'intersection des droites avec les axes du repère :

  1. (d):y=2x1(d):y=2x-1

  2. (d):y=x3+2(d):y=\dfrac{x}{3}+2

  3. (Δ):x=5(\Delta):x=5

Par calcul (pour le 1.)

  • On cherche les coordonnées du point d'intersection IIde (d)(d) et de l'axe des abscisses. On pose I(xI  ;  yI)I(x_I\;;\;y_I). Comme IIappartient à l'axe des abscisses, yI=0y_I=0. Donc, comme IIappartient aussi à (d)(d), on a 0=2xI10=2x_I-1et donc en résolvant l'équation xI=0,5x_I=0,5. Ainsi I(0,5  ;  0)I(0,5\;;\;0).

  • On cherche les coordonnées du point d'intersection JJde (d)(d) et de l'axe des ordonnées. On pose J(xJ  ;  yJ)J(x_J\;;\;y_J). Comme JJappartient à l'axe des ordonnées, xJ=0x_J=0. Donc comme JJappartient aussi à (d)(d), on a yJ=2×01=1y_J=2\times 0-1=-1 et ainsi J(0  ;  1)J(0\;;\;-1).

Intersections de deux droites

Problème

Les deux droites (d1):y=3x+4(d_1):y=3x+4 et (d2):y=2x11(d_2):y=-2x-11 se coupent-elles ? Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection.

Correction

323\neq-2 donc les deux droites (d1)(d_1) et (d2)(d_2) ne sont pas parallèles. Elles se coupent donc en un point I(x  ;  y)I(x\;;\;y) dont les coordonnées xx et yyvérifient les deux équations de droites. Il faut donc résoudre le système d'équations suivant :

{y=3x+4y=2x11\left\{\begin{array}{l}y=3x+4\\y=-2x-11\\\end{array}\right.

{2x11=3x+4y=2x11\left\{\begin{array}{l}-2x-11=3x+4\\y=-2x-11\\\end{array}\right.

{2x3x=4+11y=2x11\left\{\begin{array}{l}-2x-3x=4+11\\y=-2x-11\end{array}\right.

{5x=15y=2x11\left\{\begin{array}{l}-5x=15\\y=-2x-11\end{array}\right.

{x=3y=2×311\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-2\times-3-11\\\end{array}\right.

{x=3y=5\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-5\\\end{array}\right.

Ainsi le point d'intersection des deux droites (d1)(d_1)et (d2)(d_2) a pour coordonnées I(3  ;  5)I(-3\;;\;-5).

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