# 7. Ensemble de points {% file src="" %} ## Ensemble de points Un problème : 1. Trouver tous les points $$M(x , y)$$ tels que $$2x-7y=1$$. 2. Que peut-on dire de ces points ? 3. Et avec $$3x=4$$? 4. Et avec 4y = 8 ? {% embed url="" %} {% embed url="" %} ## Définition**s** **Sur notre exemple** * $$2x-y=7\Longleftrightarrow y=2x-7$$ * $$3x + 0y=4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$$ * $$0x+4y=8\Longleftrightarrow y=2$$ On appelle **équation cartésienne** de droite $$(d)$$ une équation de la forme $$ax+by=c$$ avec $$a$$ et $$b$$ deux nombres réels non tous les deux nuls. On appelle **équation réduite** de droite $$(d)$$une équation de la forme $$y=mx+p$$ ou $$x=k$$. ## Equations réduites de droites Soit $$m$$ et $$p$$ deux réels. Alors $$(d):y=mx+p$$ est une **équation réduite** de droite du plan. * $$m$$ est appelé **coefficient directeur** de $$(d)$$. (*slope* en anglais). * $$p$$ est appelé **ordonnées à l'origine** de $$(d)$$. ( *y*-*intercept en anglais)* {% hint style="success" %} Exercices 19, 24, 26, 9, 12, 15 {% endhint %} {% tabs %} {% tab title="Corrections/indications" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MVQ11GOvrO98auTaG2d%2F-MVQ1IzzdXmF1GI6dlBV%2Fhide.png?alt=media\&token=3cced756-ad9b-47b5-ba13-cc976e706de7) {% endtab %} {% tab title="Ex 19, 24 et 26" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MVQ11GOvrO98auTaG2d%2F-MVQ1RzjWLG67WYfXZ_6%2FEx%2019-24-26.jpeg?alt=media\&token=8cd0f7ba-a791-4bdd-a74f-512ca7dd33ee) {% endtab %} {% tab title="Exercice 9" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MVQ1V8WrNfKAmVvTy0N%2F-MVQ2zaXJ4QJryakNvvZ%2FEx%209.jpeg?alt=media\&token=9c4b3d94-3da2-473b-8164-aec8443592d7) {% endtab %} {% tab title="Ex 12" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MVQ1V8WrNfKAmVvTy0N%2F-MVQ32UeVpJ1uRzNCwzM%2FEx%2012.jpeg?alt=media\&token=e6d1ff36-b14b-4c42-94e8-e2b9bc610119) {% endtab %} {% tab title="Ex 15" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MVQ1V8WrNfKAmVvTy0N%2F-MVQ36EW9FF_t9PMVDoM%2FEx%2015.jpeg?alt=media\&token=1bb8d87e-8cda-4638-889f-1fcfa75eb4b2) {% endtab %} {% endtabs %} ## Triangle et nombre ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2Fuploads%2FvDVSFwzcwqMyItCql3xh%2Fimage.png?alt=media\&token=a87f892a-7b28-41a1-83fd-79d86cfceb0b) {% hint style="info" %} [Animation GeoGebra : triangle et nombre](https://www.geogebra.org/classic/emmmfgu7) {% endhint %} ## **Par deux points passe une droite ...** ![Retrouver l'équation de droite !](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-Lz2_qBpHW33YoWHn1mx%2F-Lz3gnIp9rwwZktT-ipQ%2Fimage.png?alt=media\&token=4dd51c9a-7146-4f62-b6db-5bf12759361d) {% embed url="" %} {% hint style="success" %} {% endhint %} {% hint style="info" %} On récapitule :\ {% endhint %} {% hint style="success" %} Exercices 41, 42, 7, 8, 43, 44 Exercices 5, 6, 38, 39, 40 {% endhint %} ## Par le calcul **Proposition** Soit $$A(x\_A;;;y\_A)$$ et $$B(x\_B;;;y\_B)$$ deux points dans un repère. Alors, si $$x\_A\neq x\_B$$, alors la droite $$(AB)$$ est non parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur (sa pente) se calcule à l'aide de la formule : $$m=\dfrac{y\_B-y\_A}{x\_B-x\_A}$$ **Exemple** Soit $$A(-4;;;5)$$ et $$B(2;;;23)$$ **.** $$-4\neq2$$ donc la droite $$(AB)$$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est de la forme $$(AB):y=mx+p$$ * On calcule $$m$$:\ $$m=\dfrac{23-5}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3$$\ Donc $$(AB):y=3x+p$$ * Pour trouver la valeur du nombre $$p$$ on remplace $$x$$ et $$y$$ par les coordonnées de $$A$$ou $$B$$:\ $$5=3\times{(-2)}+p\Longleftrightarrow p=11$$ Ainsi $$(AB):y=3x+11$$ **Exercices** Calculer l'équation de chacune des droites suivantes et les représenter dans à l'aide de la calculatrice : 1. $$(AB)$$ avec $$A(8;;;6)$$ et $$B(4;;;4)$$ 2. $$(CD)$$ avec $$C(3;;;6)$$ et $$C(-3;;;2)$$ 3. $$(EF)$$ avec $$E(2;;;-1)$$ et $$F(-1;;;1)$$ 4. $$(GH)$$ avec $$G(2;;;2)$$ et $$H(5;;;5)$$ 5. $$(IJ)$$ avec $$E(-1;;;3)$$ et $$F(-1;;;2)$$ {% tabs %} {% tab title="Solutions" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MWcE6qGdIPUNEvjNd2v%2F-MWcEHrIyNSE2MLUTZ-F%2Fhide.png?alt=media\&token=7fdc75d5-0d70-45fb-92e5-833d8614e3ed) {% endtab %} {% tab title="Les 5 équations de droites" %} ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MWcE6qGdIPUNEvjNd2v%2F-MWcEMdBsx-qqtLFg52c%2Fse%CC%81rie.jpeg?alt=media\&token=d0ea97f7-0748-4420-b827-7b010eae0899) {% endtab %} {% endtabs %} {% hint style="success" %} Exercices 9, 45, 46, 47\ Exercices 11, 48, 49, 50, 51, 71 {% endhint %} ## **Alignement, parallélisme** **Deux questions** 1. Deux droites étants données par leurs équations réduites, comment savoir si elles sont sécantes ou parallèles ? 2. Trois points étants données par leurs coordonnées, comment savoir s'ils sont alignés ? {% hint style="info" %} **À retenir** * Deux droites de type $$y=mx+p$$sont parallèles entre elles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux * Pour montrer que trois points distincts$$A$$, $$B$$ et $$C$$ sont alignés, il suffit de démontrer que les coefficients directeurs des droites $$(AB)$$ et $$(AC)$$sont égaux. {% endhint %} {% hint style="success" %} Exercices 44 et 46\ Exercices 34 et 35\ Exercices 36, 38, 81 et 91 {% endhint %} ## Intersections d'une droite avec les axes du repère #### **Exemples :** Dans chaque chaque déterminer l'intersection des droites avec les axes du repère : 1. $$(d):y=2x-1$$ 2. $$(d):y=\dfrac{x}{3}+2$$ 3. $$(\Delta):x=5$$ **Par calcul (pour le 1.)** * On cherche les coordonnées du point d'intersection $$I$$de $$(d)$$ et de l'axe des abscisses. \ On pose $$I(x\_I;;;y\_I)$$. Comme $$I$$appartient à l'axe des abscisses, $$y\_I=0$$. Donc, comme $$I$$appartient aussi à $$(d)$$, on a $$0=2x\_I-1$$et donc en résolvant l'équation $$x\_I=0,5$$. Ainsi $$I(0,5;;;0)$$. * On cherche les coordonnées du point d'intersection $$J$$de $$(d)$$ et de l'axe des ordonnées.\ On pose $$J(x\_J;;;y\_J)$$. Comme $$J$$appartient à l'axe des ordonnées, $$x\_J=0$$. Donc comme $$J$$appartient aussi à $$(d)$$, on a $$y\_J=2\times 0-1=-1$$ et ainsi $$J(0;;;-1)$$. ## Intersections de deux droites **Problème** Les deux droites $$(d\_1):y=3x+4$$ et $$(d\_2):y=-2x-11$$ se coupent-elles ?\ Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection. **Correction** $$3\neq-2$$ donc les deux droites $$(d\_1)$$ et $$(d\_2)$$ ne sont pas parallèles. Elles se coupent donc en un point $$I(x;;;y)$$ dont les coordonnées $$x$$ et $$y$$vérifient les deux équations de droites. Il faut donc résoudre **le système d'équations** suivant : $$\left{\begin{array}{l}y=3x+4\y=-2x-11\\\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}-2x-11=3x+4\y=-2x-11\\\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}-2x-3x=4+11\y=-2x-11\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}-5x=15\y=-2x-11\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}x=-3\y=-2\times-3-11\\\end{array}\right.$$ $$\left{\begin{array}{l}x=-3\y=-5\\\end{array}\right.$$ Ainsi le point d'intersection des deux droites $$(d\_1)$$et $$(d\_2)$$ a pour coordonnées $$I(-3;;;-5)$$. {% hint style="success" %} Exercices 52, 80, 50 {% endhint %}