7. Ensemble de points

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Dernière mise à jour il y a 2 ans

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7. Ensemble de points

Ensemble de points

Un problème :

Trouver tous les points $M(x , y)$ tels que $2x-7y=1$ .
Que peut-on dire de ces points ?
Et avec $3x=4$ ?
Et avec 4y = 8 ?

Définitions

Sur notre exemple

Equations réduites de droites

Exercices 19, 24, 26, 9, 12, 15

Triangle et nombre

Animation GeoGebra : triangle et nombre

Par deux points passe une droite ...

https://www.geogebra.org/graphing/BaeD7MfC

On récapitule : https://www.geogebra.org/classic/Uahhqxnx

Exercices 41, 42, 7, 8, 43, 44

Exercices 5, 6, 38, 39, 40

Par le calcul

Proposition

Exemple

Exercices

Calculer l'équation de chacune des droites suivantes et les représenter dans à l'aide de la calculatrice :

Exercices 9, 45, 46, 47 Exercices 11, 48, 49, 50, 51, 71

Alignement, parallélisme

Deux questions

Deux droites étants données par leurs équations réduites, comment savoir si elles sont sécantes ou parallèles ?
Trois points étants données par leurs coordonnées, comment savoir s'ils sont alignés ?

À retenir

Exercices 44 et 46 Exercices 34 et 35 Exercices 36, 38, 81 et 91

Intersections d'une droite avec les axes du repère

Exemples :

Dans chaque chaque déterminer l'intersection des droites avec les axes du repère :

Par calcul (pour le 1.)

Intersections de deux droites

Problème

Correction

Exercices 52, 80, 50

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Dernière mise à jour il y a 2 ans

Cet article vous a-t-il été utile ?

Ensemble de points

Un problème :

Trouver tous les points $M(x , y)$ tels que $2x-7y=1$ .
Que peut-on dire de ces points ?
Et avec $3x=4$ ?
Et avec 4y = 8 ?

Définitions

Sur notre exemple

$2x-y=7\Longleftrightarrow y=2x-7$
$3x + 0y=4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$
$0x+4y=8\Longleftrightarrow y=2$

On appelle équation cartésienne de droite $(d)$ une équation de la forme $ax+by=c$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels non tous les deux nuls.

On appelle équation réduite de droite $(d)$ une équation de la forme $y=mx+p$ ou $x=k$ .

Equations réduites de droites

Soit $m$ et $p$ deux réels.

Alors $(d):y=mx+p$ est une équation réduite de droite du plan.

$m$ est appelé coefficient directeur de $(d)$ . (slope en anglais).
$p$ est appelé ordonnées à l'origine de $(d)$ . ( y-intercept en anglais)

Exercices 19, 24, 26, 9, 12, 15

Triangle et nombre

Animation GeoGebra : triangle et nombre

Par deux points passe une droite ...

https://www.geogebra.org/graphing/BaeD7MfC

On récapitule : https://www.geogebra.org/classic/Uahhqxnx

Exercices 41, 42, 7, 8, 43, 44

Exercices 5, 6, 38, 39, 40

Par le calcul

Proposition

Soit $A(x_A\;;\;y_A)$ et $B(x_B\;;\;y_B)$ deux points dans un repère.

Alors, si $x_A\neq x_B$ , alors la droite $(AB)$ est non parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur (sa pente) se calcule à l'aide de la formule :

$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Exemple

Soit $A(-4\;;\;5)$ et $B(2\;;\;23)$ .

$-4\neq2$ donc la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

Son équation est de la forme $(AB):y=mx+p$

On calcule $m$ : $m=\dfrac{23-5}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3$ Donc $(AB):y=3x+p$
Pour trouver la valeur du nombre $p$ on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ ou $B$ : $5=3\times{(-2)}+p\Longleftrightarrow p=11$

Ainsi $(AB):y=3x+11$

Exercices

Calculer l'équation de chacune des droites suivantes et les représenter dans à l'aide de la calculatrice :

$(AB)$ avec $A(8\;;\;6)$ et $B(4\;;\;4)$
$(CD)$ avec $C(3\;;\;6)$ et $C(-3\;;\;2)$
$(EF)$ avec $E(2\;;\;-1)$ et $F(-1\;;\;1)$
$(GH)$ avec $G(2\;;\;2)$ et $H(5\;;\;5)$
$(IJ)$ avec $E(-1\;;\;3)$ et $F(-1\;;\;2)$

Exercices 9, 45, 46, 47 Exercices 11, 48, 49, 50, 51, 71

Alignement, parallélisme

Deux questions

Deux droites étants données par leurs équations réduites, comment savoir si elles sont sécantes ou parallèles ?
Trois points étants données par leurs coordonnées, comment savoir s'ils sont alignés ?

À retenir

Deux droites de type $y=mx+p$ sont parallèles entre elles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux
Pour montrer que trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, il suffit de démontrer que les coefficients directeurs des droites $(AB)$ et $(AC)$ sont égaux.

Exercices 44 et 46 Exercices 34 et 35 Exercices 36, 38, 81 et 91

Intersections d'une droite avec les axes du repère

Exemples :

Dans chaque chaque déterminer l'intersection des droites avec les axes du repère :

$(d):y=2x-1$
$(d):y=\dfrac{x}{3}+2$
$(\Delta):x=5$

Par calcul (pour le 1.)

On cherche les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(d)$ et de l'axe des abscisses. On pose $I(x_I\;;\;y_I)$ . Comme $I$ appartient à l'axe des abscisses, $y_I=0$ . Donc, comme $I$ appartient aussi à $(d)$ , on a $0=2x_I-1$ et donc en résolvant l'équation $x_I=0,5$ . Ainsi $I(0,5\;;\;0)$ .
On cherche les coordonnées du point d'intersection $J$ de $(d)$ et de l'axe des ordonnées. On pose $J(x_J\;;\;y_J)$ . Comme $J$ appartient à l'axe des ordonnées, $x_J=0$ . Donc comme $J$ appartient aussi à $(d)$ , on a $y_J=2\times 0-1=-1$ et ainsi $J(0\;;\;-1)$ .

Intersections de deux droites

Problème

Les deux droites $(d_1):y=3x+4$ et $(d_2):y=-2x-11$ se coupent-elles ? Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection.

Correction

$3\neq-2$ donc les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles. Elles se coupent donc en un point $I(x\;;\;y)$ dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient les deux équations de droites. Il faut donc résoudre le système d'équations suivant :

$\left\{\begin{array}{l}y=3x+4\\y=-2x-11\\\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2x-11=3x+4\\y=-2x-11\\\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2x-3x=4+11\\y=-2x-11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-5x=15\\y=-2x-11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-2\times-3-11\\\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-5\\\end{array}\right.$

Ainsi le point d'intersection des deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ a pour coordonnées $I(-3\;;\;-5)$ .

Exercices 52, 80, 50

$2x-y=7\Longleftrightarrow y=2x-7$

$3x + 0y=4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$

$0x+4y=8\Longleftrightarrow y=2$

On appelle équation cartésienne de droite $(d)$ une équation de la forme $ax+by=c$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels non tous les deux nuls.

On appelle équation réduite de droite $(d)$ une équation de la forme $y=mx+p$ ou $x=k$ .

Soit $m$ et $p$ deux réels.

Alors $(d):y=mx+p$ est une équation réduite de droite du plan.

$m$ est appelé coefficient directeur de $(d)$ . (slope en anglais).

$p$ est appelé ordonnées à l'origine de $(d)$ . ( y-intercept en anglais)

Soit $A(x_A\;;\;y_A)$ et $B(x_B\;;\;y_B)$ deux points dans un repère.

Alors, si $x_A\neq x_B$ , alors la droite $(AB)$ est non parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur (sa pente) se calcule à l'aide de la formule :

$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Soit $A(-4\;;\;5)$ et $B(2\;;\;23)$ .

$-4\neq2$ donc la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

Son équation est de la forme $(AB):y=mx+p$

On calcule $m$ : $m=\dfrac{23-5}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3$ Donc $(AB):y=3x+p$

Pour trouver la valeur du nombre $p$ on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ ou $B$ : $5=3\times{(-2)}+p\Longleftrightarrow p=11$

Ainsi $(AB):y=3x+11$

$(AB)$ avec $A(8\;;\;6)$ et $B(4\;;\;4)$

$(CD)$ avec $C(3\;;\;6)$ et $C(-3\;;\;2)$

$(EF)$ avec $E(2\;;\;-1)$ et $F(-1\;;\;1)$

$(GH)$ avec $G(2\;;\;2)$ et $H(5\;;\;5)$

$(IJ)$ avec $E(-1\;;\;3)$ et $F(-1\;;\;2)$

Deux droites de type $y=mx+p$ sont parallèles entre elles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux

Pour montrer que trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, il suffit de démontrer que les coefficients directeurs des droites $(AB)$ et $(AC)$ sont égaux.

$(d):y=2x-1$

$(d):y=\dfrac{x}{3}+2$

$(\Delta):x=5$

On cherche les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(d)$ et de l'axe des abscisses. On pose $I(x_I\;;\;y_I)$ . Comme $I$ appartient à l'axe des abscisses, $y_I=0$ . Donc, comme $I$ appartient aussi à $(d)$ , on a $0=2x_I-1$ et donc en résolvant l'équation $x_I=0,5$ . Ainsi $I(0,5\;;\;0)$ .

On cherche les coordonnées du point d'intersection $J$ de $(d)$ et de l'axe des ordonnées. On pose $J(x_J\;;\;y_J)$ . Comme $J$ appartient à l'axe des ordonnées, $x_J=0$ . Donc comme $J$ appartient aussi à $(d)$ , on a $y_J=2\times 0-1=-1$ et ainsi $J(0\;;\;-1)$ .