# 1. Vecteurs #1
## Activité d'introduction
{% hint style="info" %}
[Activité](https://drive.google.com/file/d/1WuzfX6r55DPuZh9aIqO7UrabXT-FGtEL/view?usp=sharing)
{% endhint %}
{% hint style="success" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/fksmgvft)
{% endhint %}
**Rappel :**\
Un parallélogramme est un quadrilatère :
* dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux
* dont deux côtés opposés sont parallèles et de même mesure
* dont les diagonales se coupent en leur milieu
## Vecteurs et translations
**Définition**
Soit $$AA'B'B$$ un parallélogramme ($$A\neq A'$$).\
La **translation** qui envoie le point $$A$$ sur le point $$A'$$ envoie le point $$B$$ sur le point $$B'$$.\
On dit que $$B'$$ est **l'image** de $$B$$ par la translation de **vecteur** $$\overrightarrow{AA'}$$.\
On note $$t\_{\overrightarrow{AA'}}:B\mapsto B'$$\
\
Les vecteurs $$\overrightarrow{AA'}$$ et $$\overrightarrow{BB'}$$ sont **égaux,** ils possèdent :
* la même **direction** $$(AA')//(BB')$$
* le même **sens** sur cette direction : \
de $$A$$ (origine) vers $$A'$$ (extrémité) ; \
de $$B$$ (origine) vers $$B'$$ (extrémité) ;
* de même longueur appelée **norme** : $$AA'=BB'$$
On note $$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$$ et on utilise des flèches pour les représenter : 
**À RETENIR** : $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$ équivalent à AB**D**C est un parallélogramme.
**Exemple**
Soit $$ABCD$$ et $$CBEF$$ des parallélogrammes. 
\
Démontrer que $$AEFD$$est un parallélogramme.
{% hint style="success" %}
[Fiche d'exercice 1](https://drive.google.com/file/d/1z87ZlWOYEnRoHcJWTcubNK2oxHUKzS0s/view?usp=sharing)
{% endhint %}
### Petites lettres
On peut nommer un vecteur avec une petite lettre et une flèche.\
Ici $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}=\overrightarrow{t}$$
**Cas particulier :**\
\
La translation qui envoie chaque point sur lui-même "ne fait rien".\
Elle est appelée **la translation de vecteur nul**.\
On note $$\overrightarrow{0}$$ ce vecteur nul. Sa norme est nulle et il ne possède pas de direction.
{% hint style="success" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/xyrh3xhs)
{% endhint %}
## Somme de vecteurs
{% hint style="info" %}
[Deux translations à la suite - GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/gku9vzvp)
{% endhint %}
**Proposition-définition**
La translation de vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ **suivie** de la translation de vecteur $$\overrightarrow{BC}$$ est la translation de vecteur $$\overrightarrow{AC}$$.\
On définit ainsi **la somme de deux vecteurs**.\
On note $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$ (relation de Chasles pour les vecteurs).
{% hint style="info" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/wzzjjqvp)
{% endhint %}
**Cas général**
Bout à bout :
{% hint style="info" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/tdehvdxj)
{% endhint %}
Même origine :
{% hint style="info" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/zq5qgabn)
{% endhint %}
**Proposition-définition**
La translation de vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ suivie de la translation de vecteur $$\overrightarrow{BA}$$ est la translation de vecteur nulle.
On a $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$$.
Le vecteur $$\overrightarrow{BA}$$ est l'opposé du vecteur $$\overrightarrow{AB}$$. \
On note$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$.
Un vecteur $$\overrightarrow{u}$$ et opposé le vecteur $$-\overrightarrow{u}$$ ont :
* la même direction
* la même norme
* des **sens contraires**
{% hint style="success" %}
[Fiche d'exercices n°2](https://drive.google.com/file/d/1L8zzStkL329s3eYnGM5vFpWKs8CQuSJ6/view?usp=sharing)
{% endhint %}
## Coordonnées d'un vecteur
{% hint style="info" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/q5fkey37)
{% endhint %}
**Définition-proposition**
On munit le plan d'un repère $$(O;;;I;;;J)$$(3 points **non alignés**).\
On note $$\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$$ et $$\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$$ .\
On appelle ces deux vecteurs **une base** du plan et $$(O;;;\overrightarrow{i};;;\overrightarrow{j})$$ **le repère du plan**.
Alors tout vecteur $$\overrightarrow{u}$$du plan s'écrit de manière unique $$\overrightarrow{u}=x\times\overrightarrow{i}+y\times\overrightarrow{j}$$.
$$x$$ et $$y$$ sont les **coordonnées** du vecteur $$\overrightarrow{u}$$ : $$\overrightarrow{u}(x;;;y)$$
{% hint style="info" %}
[Activité GeoGebra](https://drive.google.com/file/d/1wKwDKnVqRX9oxgj-DlIFle4UwiiVOVVt/view?usp=sharing)
{% endhint %}
{% hint style="info" %}
[Coordonnées : deux points => vecteur](https://www.geogebra.org/graphing/hjpvt2yx)
{% endhint %}
**Définition-Proposition**
Soit $$A(x\_A;;;y\_A)$$ et $$B(x\_B;;;y\_B)$$ deux points dans un repère du plan défini par trois points non alignés $$O$$, $$I$$, $$J$$.
alors on obtient **les coordonnées du vecteur** $$\overrightarrow{AB}$$ à l'aide de la formule :
$$\overrightarrow{AB}(x\_B-x\_A;;;y\_B-y\_A)$$.
**Exemple**
Soit $$A(1;;;5)$$, $$B(3;;;2)$$, $$C(-2;;;4)$$ et $$D(0;;;-1)$$ dans un repère $$O$$, $$I$$, $$J$$.
1. Faire une figure ;
2. Calculer les coordonnées des vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AC}$$, $$\overrightarrow{BC}$$, $$\overrightarrow{CB}$$, $$\overrightarrow{CD}$$, $$\overrightarrow{DB}$$, $$\overrightarrow{OA}$$, $$\overrightarrow{OI}$$, $$\overrightarrow{OJ}$$ et $$\overrightarrow{OO}$$ ;
3. Retrouver les coordonnées de chacun de ces vecteurs par lecture graphique.
**Propriétés**
* deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes coordonnées
* un vecteur est nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles
{% hint style="success" %}
[Fiche d'exercices 3](https://drive.google.com/file/d/1uTdPGmTchBGG6Z-27cIc4gAAcNXgll2w/view?usp=sharing)
{% endhint %}
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