1. Vecteurs #1

Activité d'introduction

Activité

Animation GeoGebra

Rappel : Un parallélogramme est un quadrilatère :

• dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux

• dont deux côtés opposés sont parallèles et de même mesure

• dont les diagonales se coupent en leur milieu

Vecteurs et translations

Définition

Soit $AA'B'B$ un parallélogramme ($A\neq A'$).

La translation qui envoie le point $A$ sur le point $A'$ envoie le point $B$ sur le point $B'$. On dit que $B'$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AA'}$. On note $t_{\overrightarrow{AA'}}:B\mapsto B'$ Les vecteurs $\overrightarrow{AA'}$ et $\overrightarrow{BB'}$ sont égaux, ils possèdent :

• la même direction $(AA')//(BB')$
• le même sens sur cette direction : de $A$ (origine) vers $A'$ (extrémité) ; de $B$ (origine) vers $B'$ (extrémité) ;
• de même longueur appelée norme : $AA'=BB'$

On note $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$ et on utilise des flèches pour les représenter :

À RETENIR : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivalent à ABDC est un parallélogramme.

Exemple

Soit $ABCD$ et $CBEF$ des parallélogrammes. Démontrer que $AEFD$est un parallélogramme.

Fiche d'exercice 1

Petites lettres

On peut nommer un vecteur avec une petite lettre et une flèche. Ici $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}=\overrightarrow{t}$

Cas particulier : La translation qui envoie chaque point sur lui-même "ne fait rien". Elle est appelée la translation de vecteur nul. On note $\overrightarrow{0}$ ce vecteur nul. Sa norme est nulle et il ne possède pas de direction.

Animation GeoGebra

Somme de vecteurs

Deux translations à la suite - GeoGebra

Proposition-définition

La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$. On définit ainsi la somme de deux vecteurs. On note $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles pour les vecteurs).

Animation GeoGebra

Cas général

Bout à bout :

Animation GeoGebra

Même origine :

Animation GeoGebra

Proposition-définition

La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$ est la translation de vecteur nulle.

On a $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.

Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l'opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$. On note$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

Un vecteur $\overrightarrow{u}$ et opposé le vecteur $-\overrightarrow{u}$ ont :

• la même direction

• la même norme

• des sens contraires

Fiche d'exercices n°2

Coordonnées d'un vecteur

Animation GeoGebra

Définition-proposition

On munit le plan d'un repère $(O\;;\;I\;;\;J)$(3 points non alignés). On note $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$ . On appelle ces deux vecteurs une base du plan et $(O\;;\;\overrightarrow{i}\;;\;\overrightarrow{j})$ le repère du plan.

Alors tout vecteur $\overrightarrow{u}$du plan s'écrit de manière unique $\overrightarrow{u}=x\times\overrightarrow{i}+y\times\overrightarrow{j}$.

$x$ et $y$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ : $\overrightarrow{u}(x\;;\;y)$

Activité GeoGebra

Coordonnées : deux points => vecteur

Définition-Proposition

Soit $A(x_A\;;\;y_A)$ et $B(x_B\;;\;y_B)$ deux points dans un repère du plan défini par trois points non alignés $O$, $I$, $J$.

alors on obtient les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ à l'aide de la formule :

$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\;;\;y_B-y_A)$.

Exemple

Soit $A(1\;;\;5)$, $B(3\;;\;2)$, $C(-2\;;\;4)$ et $D(0\;;\;-1)$ dans un repère $O$, $I$, $J$.

1. Faire une figure ;

2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{OJ}$ et $\overrightarrow{OO}$ ;
3. Retrouver les coordonnées de chacun de ces vecteurs par lecture graphique.

Propriétés

• deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes coordonnées

• un vecteur est nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles

Fiche d'exercices 3