3. Débattre en algèbre

Échauffement

Fiche d'exercice 1

Quelques problèmes

Fiche de problème

Développer une expression

Fiche développer

Factoriser une expression

Fiche factoriser

Identités

Une identité est une égalité entre expressions littérales qui est toujours vraie.

Exemples :

A - Démontrer que ces égalités sont des identités :

• $(x+1)^2=x^2+2x+1$

• $(t-1)^2-1=t(t-2)$

• $(a-1)(a+1)=a^2-1$

On réécrit un membre de l'égalité pour retrouver l'autre, ou bien on réécrit les deux membres de l'égalité en un même troisième.

B - Démontrer que ces égalités ne sont pas des identités

• $c^2+1=(c+1)^2$

• $(x-1)(x+2)=x^2-2$

• $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{a+b}$

Il suffit de trouver un contre-exemple !

Identités remarquables

En développant le membre de gauche, démontrer ces identités :

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Ces 3 identités sont appelées identités remarquables. Elles permettent de développer rapidement ou de factoriser des expressions.

Exemples :

• $(2x+3)^2=(2x)^2+2\times2x\times3+3^2=4x^2+12x+9$

• $(7-a)^2=\dots$

• $101\times99=(100+1)(100-1)=\dots$

Fiche : "développer avec les identités remarquables"