9. Calcul numérique

à la maison

Fractions/Quotients

Définitions

Soit $a$ et $b$ deux nombres avec $b\neq 0$.

Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$. On le note avec l'écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$.

Ainsi $b\times\dfrac{a}{b}=a$ Dans la fraction $\dfrac{a}{b}$, $a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

Exemples

• $3\times\dfrac{1}{3}=1$

• $\dfrac{5}{4}\times4=5$

Inverse d'une fraction L'inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a\neq0$) est le fraction $\dfrac{b}{a}$.

Calculer avec les fractions

Exemples pour comprendre

• Simplification : $\dfrac{735}{70}=\dfrac{3\times5\times7\times7}{2\times5\times7}=\dfrac{3\times7}{2}=\dfrac{21}{2}=10,5$

• Multiplication : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{3\times7}{4\times5}=\dfrac{21}{20}$

• Multiplication : $4\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{20}{13}$

• Addition (mise au même dénominateur) : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}+\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{21}{15}=\dfrac{31}{15}$

• Le signe moins : $-\dfrac{67}{32}=\dfrac{-67}{32}=\dfrac{67}{-32}$

• Soustraction : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}-\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{21}{15}=\dfrac{10-21}{15}=-\dfrac{11}{15}$

• Division (diviser par une fraction, c'est multiplier par l'inverse) : $5:\dfrac{3}{7}=5\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{35}{3}$ $\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{5}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28}$

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Fiche d'exercices "Fractions"

Puissances

Activité

Définitions

Si $a$ est un nombre, alors dans l'écriture $a^n$, on appelle $n$ la puissance ou encore l'exposant.

• $a\times a\times a= a^3$ (c'est comme un "accordéon" que l'on plie)

• $a^5=a\times a\times a\times a\times a$ (ou bien que l'on plie !)

• $a\times a\times a\times a\times a\times a= a^6$

• de même pour toutes les puissances non nulles

• $a=a^1$

Par définition si $a\neq 0$, $a^0=1$

Par définition $a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{1}{a\times a\times a}$ et de même pour toutes les puissances.

On a ainsi $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$

Calculer avec les puissances

Des exemples pour comprendre (à chaque fois "plier/déplier" permet de retrouver la formule)

• $2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^{3+4}=2^7$

• $3^7\times4^7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=(3\times4)^7=12^7$

• $\dfrac{4^2}{4^5}=\dfrac{4\times4}{4\times4\times4\times4\times4}=\dfrac{1}{4\times4\times4}=\dfrac{1}{4^3}=4^{-3}=4^{2-5}$

• $(3^4)^2=3^{4\times2}=3^8$

• $5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}$

• $(-2,7)^3=(-1)^3\times(2,7)^3=-(2,7)^3=-2,7^3$

• $(-2,7)^4=(-1)^4\times(2,7)^4=(2,7)^4$

Écriture scientifique

$\pm a\times 10^n$ avec $a\in[1\;;\;10[$ et $n\in\mathbb{Z}=\{\dots\;;\;-3\;;\;-2\;;\;-1\;;\;0\;;\;1\;;\;2\;;\;\dots\}$

• $123 400 000$ s’écrit $1,234 × 108$en notation scientifique.

• $0,000123$ s’écrit $1,23 × 10^{−4}$

• $-451$ s’écrit $-4,51 × 10^2$

• $92 384$ s’écrit $9,238 4 × 10^4$

• $0,007$ s’écrit $7 × 10^{−3}$. Il n’y a pas de virgule.

• $2,54$ s’écrit $2,54 × 10^0$

• $68$ s'écrit $6,8 × 10^1$

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Fiche d'exercices "Puissances"

Racine carrée

Activités

Lien vers l'activité

Lien vers l'activité

Définitions

Soit $a$ un nombre positif ou nul. On appelle racine de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On le note $\sqrt{a}$.

Exemples :

• $\sqrt{16}=4$ car $4^2=16$

• $\sqrt{100}=10$ car $10^2=100$

• $\sqrt{0,25}=0,5$ car $0,5^2=0,25$

• $\sqrt{2}\approx1,414$

• $\sqrt{0}=0$

ATTENTION : $\sqrt{-3}$ n'a pas de sens. On ne peut pas trouver de nombre dont le carré vaut $-3$

Calculer avec les racines carrées

Des exemples pour comprendre

• $(\sqrt{7})^2=7$

• $\sqrt{(3,2)^2}=3,2$

• $\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}$

• $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$

• $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

• $(\sqrt{5}-3)^2=(\sqrt{5})^2-2\times3\times\sqrt{5}+3^2=5-6\sqrt{5}+9=14-6\sqrt{5}$

• $(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\times(\sqrt{2})^2=2\sqrt{2}$

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Fiche d'exercice "Racine carré"