9. Calcul numérique

à la maison

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Dernière mise à jour il y a 3 ans

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9. Calcul numérique

à la maison

Fractions/Quotients

Définitions

Soit $a$ et $b$ deux nombres avec $b\neq 0$ .

Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ . On le note avec l'écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ .

Ainsi $b\times\dfrac{a}{b}=a$ Dans la fraction $\dfrac{a}{b}$ , $a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

Exemples

$3\times\dfrac{1}{3}=1$
$\dfrac{5}{4}\times4=5$

Inverse d'une fraction L'inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a\neq0$ ) est le fraction $\dfrac{b}{a}$ .

Calculer avec les fractions

Exemples pour comprendre

Simplification : $\dfrac{735}{70}=\dfrac{3\times5\times7\times7}{2\times5\times7}=\dfrac{3\times7}{2}=\dfrac{21}{2}=10,5$
Multiplication : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{3\times7}{4\times5}=\dfrac{21}{20}$
Multiplication : $4\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{20}{13}$
Addition (mise au même dénominateur) : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}+\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{21}{15}=\dfrac{31}{15}$
Le signe moins : $-\dfrac{67}{32}=\dfrac{-67}{32}=\dfrac{67}{-32}$
Soustraction : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}-\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{21}{15}=\dfrac{10-21}{15}=-\dfrac{11}{15}$
Division (diviser par une fraction, c'est multiplier par l'inverse) : $5:\dfrac{3}{7}=5\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{35}{3}$ $\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{5}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28}$

Puissances

Activité

Définitions

de même pour toutes les puissances non nulles

Calculer avec les puissances

Des exemples pour comprendre (à chaque fois "plier/déplier" permet de retrouver la formule)

Écriture scientifique

Racine carrée

Activités

Lien vers l'activité

Définitions

Exemples :

Calculer avec les racines carrées

Des exemples pour comprendre

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Fractions/Quotients

Définitions

Soit $a$ et $b$ deux nombres avec $b\neq 0$ .

Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ . On le note avec l'écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ .

Ainsi $b\times\dfrac{a}{b}=a$ Dans la fraction $\dfrac{a}{b}$ , $a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

Exemples

$3\times\dfrac{1}{3}=1$
$\dfrac{5}{4}\times4=5$

Inverse d'une fraction L'inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a\neq0$ ) est le fraction $\dfrac{b}{a}$ .

Calculer avec les fractions

Exemples pour comprendre

Simplification : $\dfrac{735}{70}=\dfrac{3\times5\times7\times7}{2\times5\times7}=\dfrac{3\times7}{2}=\dfrac{21}{2}=10,5$
Multiplication : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{3\times7}{4\times5}=\dfrac{21}{20}$
Multiplication : $4\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{20}{13}$
Addition (mise au même dénominateur) : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}+\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{21}{15}=\dfrac{31}{15}$
Le signe moins : $-\dfrac{67}{32}=\dfrac{-67}{32}=\dfrac{67}{-32}$
Soustraction : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}-\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{21}{15}=\dfrac{10-21}{15}=-\dfrac{11}{15}$
Division (diviser par une fraction, c'est multiplier par l'inverse) : $5:\dfrac{3}{7}=5\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{35}{3}$ $\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{5}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28}$

Puissances

Activité

Définitions

Si $a$ est un nombre, alors dans l'écriture $a^n$ , on appelle $n$ la puissance ou encore l'exposant.

$a\times a\times a= a^3$ (c'est comme un "accordéon" que l'on plie)
$a^5=a\times a\times a\times a\times a$ (ou bien que l'on plie !)
$a\times a\times a\times a\times a\times a= a^6$
de même pour toutes les puissances non nulles
$a=a^1$

Par définition si $a\neq 0$ , $a^0=1$

Par définition $a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{1}{a\times a\times a}$ et de même pour toutes les puissances.

On a ainsi $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$

Calculer avec les puissances

Des exemples pour comprendre (à chaque fois "plier/déplier" permet de retrouver la formule)

$2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^{3+4}=2^7$
$3^7\times4^7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=(3\times4)^7=12^7$
$\dfrac{4^2}{4^5}=\dfrac{4\times4}{4\times4\times4\times4\times4}=\dfrac{1}{4\times4\times4}=\dfrac{1}{4^3}=4^{-3}=4^{2-5}$
$(3^4)^2=3^{4\times2}=3^8$
$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}$
$(-2,7)^3=(-1)^3\times(2,7)^3=-(2,7)^3=-2,7^3$
$(-2,7)^4=(-1)^4\times(2,7)^4=(2,7)^4$

Écriture scientifique

$\pm a\times 10^n$ avec $a\in[1\;;\;10[$ et $n\in\mathbb{Z}=\{\dots\;;\;-3\;;\;-2\;;\;-1\;;\;0\;;\;1\;;\;2\;;\;\dots\}$

$123 400 000$ s’écrit $1,234 × 108$ en notation scientifique.
$0,000123$ s’écrit $1,23 × 10^{−4}$
$-451$ s’écrit $-4,51 × 10^2$
$92 384$ s’écrit $9,238 4 × 10^4$
$0,007$ s’écrit $7 × 10^{−3}$ . Il n’y a pas de virgule.
$2,54$ s’écrit $2,54 × 10^0$
$68$ s'écrit $6,8 × 10^1$

Racine carrée

Activités

Lien vers l'activité

Définitions

Soit $a$ un nombre positif ou nul. On appelle racine de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . On le note $\sqrt{a}$ .

Exemples :

$\sqrt{16}=4$ car $4^2=16$
$\sqrt{100}=10$ car $10^2=100$
$\sqrt{0,25}=0,5$ car $0,5^2=0,25$
$\sqrt{2}\approx1,414$
$\sqrt{0}=0$

ATTENTION : $\sqrt{-3}$ n'a pas de sens. On ne peut pas trouver de nombre dont le carré vaut $-3$

Calculer avec les racines carrées

Des exemples pour comprendre

$(\sqrt{7})^2=7$
$\sqrt{(3,2)^2}=3,2$
$\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$(\sqrt{5}-3)^2=(\sqrt{5})^2-2\times3\times\sqrt{5}+3^2=5-6\sqrt{5}+9=14-6\sqrt{5}$
$(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\times(\sqrt{2})^2=2\sqrt{2}$

Si $a$ est un nombre, alors dans l'écriture $a^n$ , on appelle $n$ la puissance ou encore l'exposant.

$a\times a\times a= a^3$ (c'est comme un "accordéon" que l'on plie)

$a^5=a\times a\times a\times a\times a$ (ou bien que l'on plie !)

$a\times a\times a\times a\times a\times a= a^6$

$a=a^1$

Par définition si $a\neq 0$ , $a^0=1$

Par définition $a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{1}{a\times a\times a}$ et de même pour toutes les puissances.

On a ainsi $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$

$2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^{3+4}=2^7$

$3^7\times4^7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=(3\times4)^7=12^7$

$\dfrac{4^2}{4^5}=\dfrac{4\times4}{4\times4\times4\times4\times4}=\dfrac{1}{4\times4\times4}=\dfrac{1}{4^3}=4^{-3}=4^{2-5}$

$(3^4)^2=3^{4\times2}=3^8$

$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}$

$(-2,7)^3=(-1)^3\times(2,7)^3=-(2,7)^3=-2,7^3$

$(-2,7)^4=(-1)^4\times(2,7)^4=(2,7)^4$

$\pm a\times 10^n$ avec $a\in[1\;;\;10[$ et $n\in\mathbb{Z}=\{\dots\;;\;-3\;;\;-2\;;\;-1\;;\;0\;;\;1\;;\;2\;;\;\dots\}$

$123 400 000$ s’écrit $1,234 × 108$ en notation scientifique.

$0,000123$ s’écrit $1,23 × 10^{−4}$

$-451$ s’écrit $-4,51 × 10^2$

$92 384$ s’écrit $9,238 4 × 10^4$

$0,007$ s’écrit $7 × 10^{−3}$ . Il n’y a pas de virgule.

$2,54$ s’écrit $2,54 × 10^0$

$68$ s'écrit $6,8 × 10^1$

Soit $a$ un nombre positif ou nul. On appelle racine de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . On le note $\sqrt{a}$ .

$\sqrt{16}=4$ car $4^2=16$

$\sqrt{100}=10$ car $10^2=100$

$\sqrt{0,25}=0,5$ car $0,5^2=0,25$

$\sqrt{2}\approx1,414$

$\sqrt{0}=0$

ATTENTION : $\sqrt{-3}$ n'a pas de sens. On ne peut pas trouver de nombre dont le carré vaut $-3$

$(\sqrt{7})^2=7$

$\sqrt{(3,2)^2}=3,2$

$\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}$

$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$(\sqrt{5}-3)^2=(\sqrt{5})^2-2\times3\times\sqrt{5}+3^2=5-6\sqrt{5}+9=14-6\sqrt{5}$

$(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\times(\sqrt{2})^2=2\sqrt{2}$