# 9. Calcul numérique ## Fractions/Quotients ### Définitions Soit $$a$$ et $$b$$ deux nombres avec $$b\neq 0$$. Le **quotient** de $$a$$ par $$b$$ est le nombre qui multiplié par $$b$$ donne $$a$$.\ On le note avec **l'écriture fractionnaire** $$\dfrac{a}{b}$$. Ainsi $$b\times\dfrac{a}{b}=a$$\ \ Dans la fraction $$\dfrac{a}{b}$$, $$a$$ est appelé le **numérateur** et $$b$$ le **dénominateur**. **Exemples** * $$3\times\dfrac{1}{3}=1$$ * $$\dfrac{5}{4}\times4=5$$ **Inverse d'une fraction**\ \ L'inverse de la fraction $$\dfrac{a}{b}$$ (avec $$a\neq0$$) est le fraction $$\dfrac{b}{a}$$. ### Calculer avec les fractions **Exemples pour comprendre** * *Simplification* : $$\dfrac{735}{70}=\dfrac{3\times5\times7\times7}{2\times5\times7}=\dfrac{3\times7}{2}=\dfrac{21}{2}=10,5$$
* *Multiplication* : $$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{3\times7}{4\times5}=\dfrac{21}{20}$$
* *Multiplication* : $$4\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{20}{13}$$
* *Addition (mise au même dénominateur)* : \ $$\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}+\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{21}{15}=\dfrac{31}{15}$$
* *Le signe moins* : $$-\dfrac{67}{32}=\dfrac{-67}{32}=\dfrac{67}{-32}$$
* *Soustraction* :\ $$\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}-\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{21}{15}=\dfrac{10-21}{15}=-\dfrac{11}{15}$$
* *Division (diviser par une fraction, c'est multiplier par l'inverse)* :\ $$5:\dfrac{3}{7}=5\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{35}{3}$$\ $$\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{5}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28}$$ {% file src="/files/-MXH20c15HsB8d\_ZRA1K" %} Fiche d'exercices "Fractions" {% endfile %} ## Puissances ### Activité ![](/files/-MXjo_6NK5UvMkEITbSB) ### Définitions Si $$a$$ est un nombre, alors dans l'écriture $$a^n$$, on appelle $$n$$ **la puissance** ou encore **l'exposant**. * $$a\times a\times a= a^3$$ (c'est comme un "accordéon" que l'on plie) * $$a^5=a\times a\times a\times a\times a$$ (ou bien que l'on plie !) * $$a\times a\times a\times a\times a\times a= a^6$$ * de même pour toutes les puissances non nulles * $$a=a^1$$ Par définition si $$a\neq 0$$, $$a^0=1$$ Par définition $$a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{1}{a\times a\times a}$$ et de même pour toutes les puissances. On a ainsi $$a^{-1}=\dfrac{1}{a}$$ ### Calculer avec les puissances **Des exemples pour comprendre**\ **(à chaque fois "plier/déplier" permet de retrouver la formule)** * $$2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^{3+4}=2^7$$
* $$3^7\times4^7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=(3\times4)^7=12^7$$
* $$\dfrac{4^2}{4^5}=\dfrac{4\times4}{4\times4\times4\times4\times4}=\dfrac{1}{4\times4\times4}=\dfrac{1}{4^3}=4^{-3}=4^{2-5}$$
* $$(3^4)^2=3^{4\times2}=3^8$$
* $$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}$$
* $$(-2,7)^3=(-1)^3\times(2,7)^3=-(2,7)^3=-2,7^3$$
* $$(-2,7)^4=(-1)^4\times(2,7)^4=(2,7)^4$$ #### Écriture scientifique {% embed url="" %} $$\pm a\times 10^n$$ avec $$a\in\[1;;;10\[$$ et $$n\in\mathbb{Z}={\dots;;;-3;;;-2;;;-1;;;0;;;1;;;2;;;\dots}$$ * $$123 400 000$$ s’écrit $$1,234 × 108$$en notation scientifique. * $$0,000123$$ s’écrit $$1,23 × 10^{−4}$$ * $$-451$$ s’écrit $$-4,51 × 10^2$$ * $$92 384$$ s’écrit $$9,238 4 × 10^4$$ * $$0,007$$ s’écrit $$7 × 10^{−3}$$. Il n’y a pas de virgule. * $$2,54$$ s’écrit $$2,54 × 10^0$$ * $$68$$ s'écrit $$6,8 × 10^1$$ {% file src="/files/-MXjoitC6e-jkuIqIzRF" %} Fiche d'exercices "Puissances" {% endfile %} ## Racine carrée ### Activités [Lien vers l'activité](https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=82145\&ordre=1) ![](/files/-MXBeN957dFitN4VhEAN) [Lien vers l'activité](https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=82146\&ordre=1) ![](/files/-MXBejZmONhcXy0oiW0e) ### Définitions Soit $$a$$ un nombre positif ou nul.\ On appelle racine de $$a$$ le nombre positif dont le carré est égal à $$a$$.\ On le note $$\sqrt{a}$$. **Exemples :** * $$\sqrt{16}=4$$ car $$4^2=16$$
* $$\sqrt{100}=10$$ car $$10^2=100$$
* $$\sqrt{0,25}=0,5$$ car $$0,5^2=0,25$$
* $$\sqrt{2}\approx1,414$$
* $$\sqrt{0}=0$$ **ATTENTION** :\ \ $$\sqrt{-3}$$ n'a pas de sens. On ne peut pas trouver de nombre dont le carré vaut $$-3$$ ### Calculer avec les racines carrées **Des exemples pour comprendre** * $$(\sqrt{7})^2=7$$
* $$\sqrt{(3,2)^2}=3,2$$
* $$\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}$$
* $$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$$
* $$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$
* $$(\sqrt{5}-3)^2=(\sqrt{5})^2-2\times3\times\sqrt{5}+3^2=5-6\sqrt{5}+9=14-6\sqrt{5}$$
* $$(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\times(\sqrt{2})^2=2\sqrt{2}$$ {% file src="/files/-MXBezoHn1lcNon7bslH" %} Fiche d'exercice "Racine carré" {% endfile %} --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://arnaud-lierville.gitbook.io/seconde/cours/9.-calcul-numerique.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.