# 14. Modéliser le hasard, calculer des probabilités {% file src="" %} {% file src="" %} ## Une question simple ? Quelle est la **probabilité** d'obtenir face lorsque l'on lance une pièce ? Pas si simple. Qu'est ce que ça veut dire au juste ? On peut faire une hypothèse : la pièce est **"équilibrée"**. C'est à dire que l'on suppose qu'elle n'a pas plus de raison de tomber sur pile que sur face. Dans ce cas, **sur un grand nombre** de lancers, on s'attend à obtenir autant de fois face que de fois pile. Essayons ! ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MTtn9HmPEnVM7ayU6zQ%2F-MTtp8m2E0MAkEsVRRac%2Fimage.png?alt=media\&token=471dca34-69cd-491b-88a2-c33310cb134c) [**Lien vers le programme Python**](https://repl.it/@arnaudlierville/PileFace) ## Expérience aléatoire #### Définition On appelle **expérience aléatoire** une expérience dont le résultat est soumis au hasard. Tous les résultats possibles sont appelés **issues** ou encore **éventualités**. On note leur ensemble $$\Omega$$, **univers des possibles**. **Exemples** * Lancer d'une pièce de monnaie * Choix d'une carte dans un jeu **Exercices 25, 29, 30** ## Modélisation Pour une expérience aléatoire, on peut donner **la loi de probabilité**, c'est à dire donner la probabilité de chacune des les **issues élémentaires**. Par exemple à l'aide d'un tableau pour une pièce équilibrée : | Issue | Face | Pile | | ----------- | :--: | ---: | | Probabilité | 0,5 | 0,5 | Si la pièce n'est pas équilibrée, une étude statistique sur les lancers peut permettre de **modéliser** la situation : Si on observe que sur un grand nombre de lancers, la fréquence d'apparition des côtés "face" *tend* vers 40% lorsque que le nombre de lancers augmente alors on modélise en posant la loi de probabilité suivante : | Issue | Face | Pile | | ----------- | :--: | ---: | | Probabilité | 0,4 | 0,6 | **Exercices 1, 2, 3** {% hint style="danger" %} **Important** {% endhint %} * la probabilité d'une issue ou d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1 * la somme des probabilités des issues élémentaires est égale à 1 **Exercice** Un dé cubique a été truqué de telle manière que : * le chiffre 6 apparaisse trois fois plus souvent que le 1 * les chiffres 3 et 4 ont deux fois plus de chance d’apparaître que le 1 * les chiffres 1, 2 et 5 ont la même probabilité d’apparaître Déterminer la probabilité p de l’événement élémentaire « Obtenir le nombre 1 ». **Exercices 93, 94** #### Méthode - utiliser un tableau En lançant un dé équilibré, quelle est la somme la plus probable ? #### Méthode - utiliser un arbre des possibles Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois "FACE" en lançant trois fois une pièce de monnaie équilibrée ?" **Exercices 5, 6, 7** **Exercices 40, 37** #### Cas d'équiprobabilité On parle **d'équiprobabilité** lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Exemple : "Lancer d'un dé cubique équilibré" Il y a $$6$$ issues élémentaires possibles de **même probabilité**, donc chaque issue possède une probabilité de $$\dfrac{1}{6}$$ : | Issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | ----------- | :--------------: | ---------------: | ---------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- | | Probabilité | $$\dfrac{1}{6}$$ | $$\dfrac{1}{6}$$ | $$\dfrac{1}{6}$$ | $$\dfrac{1}{6}$$ | $$\dfrac{1}{6}$$ | $$\dfrac{1}{6}$$ | Dans ce cas, la probabilité **d’un événement** $$A$$ s’obtient en calculant le quotient du nombre $$k$$ d’issues favorables à l’événement $$A$$ sur le nombre $$n$$ d’issues possibles $$P(A) =\dfrac{k}{n}$$ $$P(\text{"Obtenir un score supérieur à 4"})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$$ **Exercice 35** ## Vocabulaire * Un **événement** est un sous-ensemble de l'univers des possibles $$\Omega$$. * Un événement **impossible** est noté $$\emptyset$$. Sa probabilité vaut 0. * Un événement **certain** est noté $$\Omega$$ (comme l'univers). Sa probabilité vaut 1. #### Probabilité d'un événement La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. **Exemple** *Expérience aléatoire* : tirer une carte au hasard dans un jeu de 32. $$A$$ : "La carte tirée est un carreau" $$P(A)=\dfrac{8}{23}=\dfrac{1}{4}$$ **Exercice 32** #### Événement contraire On note $$\overline{A}$$ l'événement contraire de $$A$$. Il est composé de tous les événements de $$\Omega$$ **sauf** ceux de $$A$$. On a $$P(\overline{A})=1-P(A)$$ **Exemple** Dans l'expérience aléatoire précédente, $$\overline{A}$$ : "La carte tirée n'est pas un coeur" et $$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$ ## Propriétés Soit $$A$$ et $$B$$ deux événements d'une expérience aléatoire. \- L’événement "$$A$$ ou $$B$$", noté $$A\cup B$$ est réalisé lorsque au moins l’un des deux événements est réalisé. \- L’événement "$$A$$ et $$B$$", noté $$A\cap B$$ est réalisé lorsque les deux événements sont réalisés. \- Deux événements $$A$$ et $$B$$ sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. On a alors $$A\cap B=\emptyset$$. ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MTtt4logESj9cVClaek%2F-MTtteBjS-GnX9m1ckVK%2Fimage.png?alt=media\&token=b3102d73-d6ed-4f40-868c-eb5eedd4dc2b) ## **Activité** ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2Fuploads%2FruBGoMoBFKbHvnbzVnkn%2Fimage.png?alt=media\&token=ebaca55f-c676-4f1b-9832-c7a04ea661be)![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2Fuploads%2FlESm8lcCszO6InDkti7B%2Fimage.png?alt=media\&token=06a52d98-d634-4160-ba71-47df7b70de86) **Un caméléon attrape avec sa langue au hasard des fourmis qui passent par là pour se nourrir.**\ **Il y en a des noires, des rouges, des venimeuses et des non venimeuses :** | Fourmis | Noires | Rouges | | :------------: | :----: | :----: | | Venimeuses | 10 | 14 | | Non venimeuses | 44 | 32 | Calculer la probabilité que la caméléon mange * [x] une fourmi noire * [x] une fourmi venimeuse * [x] une fourmi noire et venimeuse * [x] une fourmi noire ou venimeuse ![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2Fuploads%2FD3wirUSd3HW6IdVYpuZc%2Fimage.png?alt=media\&token=cc3373a8-ade2-4444-9bdd-860c61be809a) **Exercice 44** **Activité 4** #### Proposition $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ **Exercice 8, 9** **Exercices 42, 43, 45, 46, 90** --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://arnaud-lierville.gitbook.io/seconde/cours/9.-modeliser-le-hasard-calculer-des-probabilites.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.