14. Modéliser le hasard, calculer des probabilités

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Une question simple ?

Quelle est la probabilité d'obtenir face lorsque l'on lance une pièce ?

Pas si simple. Qu'est ce que ça veut dire au juste ?

On peut faire une hypothèse : la pièce est "équilibrée".

C'est à dire que l'on suppose qu'elle n'a pas plus de raison de tomber sur pile que sur face. Dans ce cas, sur un grand nombre de lancers, on s'attend à obtenir autant de fois face que de fois pile.

Essayons !

Lien vers le programme Python

Expérience aléatoire

Définition

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat est soumis au hasard. Tous les résultats possibles sont appelés issues ou encore éventualités.

On note leur ensemble $\Omega$, univers des possibles.

Exemples

• Lancer d'une pièce de monnaie

• Choix d'une carte dans un jeu

Exercices 25, 29, 30

Modélisation

Pour une expérience aléatoire, on peut donner la loi de probabilité, c'est à dire donner la probabilité de chacune des les issues élémentaires.

Par exemple à l'aide d'un tableau pour une pièce équilibrée :

Issue	Face	Pile
Probabilité	0,5	0,5

Si la pièce n'est pas équilibrée, une étude statistique sur les lancers peut permettre de modéliser la situation :

Si on observe que sur un grand nombre de lancers, la fréquence d'apparition des côtés "face" tend vers 40% lorsque que le nombre de lancers augmente alors on modélise en posant la loi de probabilité suivante :

Issue	Face	Pile
Probabilité	0,4	0,6

Exercices 1, 2, 3

Important

• la probabilité d'une issue ou d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1

• la somme des probabilités des issues élémentaires est égale à 1

Exercice

Un dé cubique a été truqué de telle manière que :

• le chiffre 6 apparaisse trois fois plus souvent que le 1

• les chiffres 3 et 4 ont deux fois plus de chance d’apparaître que le 1

• les chiffres 1, 2 et 5 ont la même probabilité d’apparaître

Déterminer la probabilité p de l’événement élémentaire « Obtenir le nombre 1 ».

Exercices 93, 94

Méthode - utiliser un tableau

En lançant un dé équilibré, quelle est la somme la plus probable ?

Méthode - utiliser un arbre des possibles

Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois "FACE" en lançant trois fois une pièce de monnaie équilibrée ?"

Exercices 5, 6, 7

Exercices 40, 37

Cas d'équiprobabilité

On parle d'équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Exemple : "Lancer d'un dé cubique équilibré"

Il y a $6$ issues élémentaires possibles de même probabilité, donc chaque issue possède une probabilité de $\dfrac{1}{6}$ :

Issue	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

Dans ce cas, la probabilité d’un événement $A$ s’obtient en calculant le quotient du nombre $k$ d’issues favorables à l’événement $A$ sur le nombre $n$ d’issues possibles

$P(A) =\dfrac{k}{n}$

$P(\text{"Obtenir un score supérieur à 4"})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Exercice 35

Vocabulaire

• Un événement est un sous-ensemble de l'univers des possibles $\Omega$.

• Un événement impossible est noté $\emptyset$. Sa probabilité vaut 0.

• Un événement certain est noté $\Omega$ (comme l'univers). Sa probabilité vaut 1.

Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

Exemple

Expérience aléatoire : tirer une carte au hasard dans un jeu de 32.

$A$ : "La carte tirée est un carreau"

$P(A)=\dfrac{8}{23}=\dfrac{1}{4}$

Exercice 32

Événement contraire

On note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$. Il est composé de tous les événements de $\Omega$ sauf ceux de $A$.

On a $P(\overline{A})=1-P(A)$

Exemple

Dans l'expérience aléatoire précédente, $\overline{A}$ : "La carte tirée n'est pas un coeur" et

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

Propriétés

Soit $A$ et $B$ deux événements d'une expérience aléatoire.

- L’événement "$A$ ou $B$", noté $A\cup B$ est réalisé lorsque au moins l’un des deux événements est réalisé.

- L’événement "$A$ et $B$", noté $A\cap B$ est réalisé lorsque les deux événements sont réalisés.

- Deux événements $A$ et $B$ sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. On a alors $A\cap B=\emptyset$.

Activité

Un caméléon attrape avec sa langue au hasard des fourmis qui passent par là pour se nourrir. Il y en a des noires, des rouges, des venimeuses et des non venimeuses :

Fourmis	Noires	Rouges
Venimeuses	10	14
Non venimeuses	44	32

Calculer la probabilité que la caméléon mange

• une fourmi noire

• une fourmi venimeuse

• une fourmi noire et venimeuse

• une fourmi noire ou venimeuse

Exercice 44

Activité 4

Proposition

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Exercice 8, 9

Exercices 42, 43, 45, 46, 90