12. Signe d'une expression

Problématique

On sait résoudre des équations comme :

3x2=x73x-2=x-7

On sait résoudre des inéquations comme :

2x1<4x2x-1<4-x

Comment s'y prendre pour résoudre les inéquations ou déterminer le signe d'expressions comme :

  • Résoudre (2x1)(x+4)<0(2x-1)(x+4)<0

  • Signe de x2+x>0x^2+x>0

  • Résoudre 3x+12x50\dfrac{3x+1}{2x-5}\geqslant 0

  • Signe de x2x2x^2-x-2

Signe d'un produit de fonctions affines

Signe d'un quotient de fonctions affines

Factoriser-Quotientiser

Pour étudier le signe d'une expression, il est souvent très utile de la factoriser ou de la mettre sous la forme d'un quotient.

Exemples

  • Le signe de 3x27x3x^2-7x est celui de x×(3x7)x\times (3x-7)

  • Le signe de x29x^2-9 est celui de (x3)×(x+3)(x-3)\times (x+3)

  • Le signe de x22x+1x^2-2x+1 est celui de (x1)2(x-1)^2

  • Le signe de 1x+1x+1\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1} est celui de 2x+1x(x+1)\dfrac{2x+1}{x(x+1)}

Comment factoriser une expression ?

  • Identifier un facteur commun

  • Utiliser une des identités remarquables suivantes:

    • a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

    • a22ab+b2=(ab)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

    • a2b2=(ab)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Exemples

  • (x+2)(x3)+(x+2)(43x)(x+2)(x-3)+(x+2)(4-3x)

  • x249x^2-49

  • 8x34x28x^3-4x^2

  • x2+2x+1x^2+2x+1

  • 94x29-4x^2

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