# 8. Variations

{% file src="<https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2Fuploads%2FKZhDHTzuY8EBTndhtDS7%2F2nde19-ALG-ANA-Exercices%20variations%20et%20extrema.pdf?alt=media&token=4a2ae49b-d7ac-440b-9569-ce57c0293324>" %}

## **Activité d'introduction**

![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MWrmm_aq9v3jzxgX1_R%2F-MWrmv6sqpmHnef1nYmB%2Fimage.png?alt=media\&token=8f92a5e2-3f8f-4d8b-9276-e2dbea8747bc)

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[**Lien vers l'activité**](https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=83409\&ordre=1)
{% endhint %}

## **Définition**

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$.

On dit que $$f$$ est **croissante sur** $$I$$ si $$f$$ **ne change pas le sens des inégalités** :

Pour tout $$a$$ et $$b$$ dans $$I$$ : si $$a\leqslant b$$ alors $$f(a)\leqslant f(b)$$.

![Fonction croissante](https://lh3.googleusercontent.com/-9ujhiSMwlug/Wer-nDf-ccI/AAAAAAAABIo/8Hy6yR2nl3Qt25oxFBTmAKhd-ooYAcqRQCLcBGAs/s0/fig-croissante.png)

On dit que $$f$$ est **décroissante sur** $$I$$ si $$f$$ **change le sens des inégalités** :

Pour tout $$a$$ et $$b$$ dans $$I$$ : si $$a\leqslant b$$ alors $$f(a)\geqslant f(b)$$.

![Fonction décroissante](https://lh3.googleusercontent.com/-S0K_YNd81DU/Wer-tvC6u2I/AAAAAAAABIw/cxiVsIkek0olLvEjU9A5P6e3Mbc8yD0ZQCLcBGAs/s0/fig-decroissante.png)

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[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/MjwjPnYs)
{% endhint %}

## **Tableau de variations**

Dans le tableau de variations d’une fonction :

* on indique son ensemble de définition
* on met des flèches ↗ pour indiquer la croissance
* on met des flèches ↘ pour indiquer la décroissance
* on indique quelques images

**Exemple :**

![exemple - fonction](https://lh3.googleusercontent.com/-amNFPj1Ym4E/WesCSvsz42I/AAAAAAAABJE/jdYblQ9LfLwQk1d8fKZsxa1TRBRWKpooQCLcBGAs/s0/exemple-fonction.png)

![exemple - tableau](https://lh3.googleusercontent.com/-nfUiQJpaYfY/WesCiTSEXSI/AAAAAAAABJM/LwTQms8YJd8ULFiOzzBzNqls05FxPpe6wCLcBGAs/s0/exemple-correction.png)

De ce tableau, on tire des informations :

* $$f(-1,5)\<f(-1)$$
* $$3>f(0)>-2$$
* $$f(1,55)\<f(1,56)$$
* $$f(0,5)>f(0,6)$$

## **Maximum et minimum**

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$.

On dit que $$f$$ admet un **maximum** $$M$$ sur $$I$$ en $$a$$ si :

* $$f(x)\leqslant M$$ pour tout $$x\in I$$
* $$f(a)=M$$

![maximum](https://lh3.googleusercontent.com/-9j5kbmlTE8k/WexBuFZSTfI/AAAAAAAABJw/dzIpwU6FXt802tA8fI_V1e6gDSpfx2uQQCLcBGAs/s0/max.png)

On dit que $$f$$ admet un **minimum** $$m$$ sur $$I$$ en $$a$$ si :

* $$m\leqslant f(x)$$ pour tout $$x\in I$$
* $$f(a)=M$$

![minimum](https://lh3.googleusercontent.com/-7qG2KUdgIMQ/WexB1b2EjvI/AAAAAAAABJ4/Ubodrj02X24cE7SM6uTXh4TcOjphiU7MQCLcBGAs/s0/min.png)

{% hint style="success" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/q3jxjnhc)
{% endhint %}
