# 9. Calcul numérique

## Fractions/Quotients

### Définitions

Soit $$a$$ et $$b$$ deux nombres avec $$b\neq 0$$.

Le **quotient** de $$a$$ par $$b$$ est le nombre qui multiplié par $$b$$ donne $$a$$.\
On le note avec **l'écriture fractionnaire** $$\dfrac{a}{b}$$.&#x20;

Ainsi $$b\times\dfrac{a}{b}=a$$\
\
Dans la fraction $$\dfrac{a}{b}$$, $$a$$ est appelé le **numérateur** et $$b$$ le **dénominateur**.

**Exemples**

* $$3\times\dfrac{1}{3}=1$$
* $$\dfrac{5}{4}\times4=5$$

**Inverse d'une fraction**\
\
L'inverse de la fraction $$\dfrac{a}{b}$$ (avec $$a\neq0$$) est le fraction $$\dfrac{b}{a}$$.

### Calculer avec les fractions

**Exemples pour comprendre**

* *Simplification* : $$\dfrac{735}{70}=\dfrac{3\times5\times7\times7}{2\times5\times7}=\dfrac{3\times7}{2}=\dfrac{21}{2}=10,5$$\\

* *Multiplication* : $$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{3\times7}{4\times5}=\dfrac{21}{20}$$\\

* *Multiplication* : $$4\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{20}{13}$$\\

* *Addition (mise au même dénominateur)* : \
  $$\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}+\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{21}{15}=\dfrac{31}{15}$$\\

* *Le signe moins* : $$-\dfrac{67}{32}=\dfrac{-67}{32}=\dfrac{67}{-32}$$\\

* *Soustraction* :\
  $$\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times5}{3\times5}-\dfrac{3\times7}{3\times5}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{21}{15}=\dfrac{10-21}{15}=-\dfrac{11}{15}$$\\

* *Division (diviser par une fraction, c'est multiplier par l'inverse)* :\
  $$5:\dfrac{3}{7}=5\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{35}{3}$$\
  $$\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{5}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28}$$

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Fiche d'exercices "Fractions"
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## Puissances

### Activité

![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MXjnXAPu9tmqXHx1S4w%2F-MXjo_6NK5UvMkEITbSB%2Fimage.png?alt=media\&token=11945acc-6a8b-45c3-9e56-b25fa5a8d503)

### Définitions

Si $$a$$ est un nombre, alors dans l'écriture $$a^n$$, on appelle $$n$$ **la puissance** ou encore **l'exposant**.

* $$a\times a\times a= a^3$$ (c'est comme un "accordéon" que l'on plie)
* $$a^5=a\times a\times a\times a\times a$$ (ou bien que l'on plie !)
* $$a\times a\times a\times a\times a\times a= a^6$$
* de même pour toutes les puissances non nulles
* $$a=a^1$$

Par définition si $$a\neq 0$$, $$a^0=1$$

Par définition $$a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{1}{a\times a\times a}$$ et de même pour toutes les puissances.

On a ainsi $$a^{-1}=\dfrac{1}{a}$$

### Calculer avec les puissances

**Des exemples pour comprendre**\
**(à chaque fois "plier/déplier" permet de retrouver la formule)**

* $$2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^{3+4}=2^7$$\\

* $$3^7\times4^7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=(3\times4)^7=12^7$$\\

* $$\dfrac{4^2}{4^5}=\dfrac{4\times4}{4\times4\times4\times4\times4}=\dfrac{1}{4\times4\times4}=\dfrac{1}{4^3}=4^{-3}=4^{2-5}$$\\

* $$(3^4)^2=3^{4\times2}=3^8$$\\

* $$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}$$\\

* $$(-2,7)^3=(-1)^3\times(2,7)^3=-(2,7)^3=-2,7^3$$\\

* $$(-2,7)^4=(-1)^4\times(2,7)^4=(2,7)^4$$

#### Écriture scientifique

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$$\pm a\times 10^n$$ avec $$a\in\[1;;;10\[$$ et $$n\in\mathbb{Z}={\dots;;;-3;;;-2;;;-1;;;0;;;1;;;2;;;\dots}$$

* $$123 400 000$$ s’écrit $$1,234 × 108$$en notation scientifique.
* $$0,000123$$ s’écrit $$1,23 × 10^{−4}$$
* $$-451$$ s’écrit $$-4,51 × 10^2$$
* $$92 384$$ s’écrit $$9,238 4 × 10^4$$
* $$0,007$$ s’écrit $$7 × 10^{−3}$$. Il n’y a pas de virgule.
* $$2,54$$ s’écrit $$2,54 × 10^0$$
* $$68$$ s'écrit $$6,8 × 10^1$$

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Fiche d'exercices "Puissances"
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## Racine carrée

### Activités

[Lien vers l'activité](https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=82145\&ordre=1)

![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MXBdkp7LC7jwNtT_M7O%2F-MXBeN957dFitN4VhEAN%2Fimage.png?alt=media\&token=09e4bc1e-c4ae-4234-8320-f1a85859010c)

[Lien vers l'activité](https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=82146\&ordre=1)

![](https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MXBdkp7LC7jwNtT_M7O%2F-MXBejZmONhcXy0oiW0e%2Fimage.png?alt=media\&token=320b46c3-8f8f-4e9f-b368-2948a9cd4ce2)

### Définitions

Soit $$a$$ un nombre positif ou nul.\
On appelle racine de $$a$$ le nombre positif dont le carré est égal à $$a$$.\
On le note $$\sqrt{a}$$.

**Exemples :**

* $$\sqrt{16}=4$$ car $$4^2=16$$\\

* $$\sqrt{100}=10$$ car $$10^2=100$$\\

* $$\sqrt{0,25}=0,5$$ car $$0,5^2=0,25$$\\

* $$\sqrt{2}\approx1,414$$\\

* $$\sqrt{0}=0$$

**ATTENTION** :\
\
$$\sqrt{-3}$$ n'a pas de sens. On ne peut pas trouver de nombre dont le carré vaut $$-3$$

### Calculer avec les racines carrées

**Des exemples pour comprendre**

* $$(\sqrt{7})^2=7$$\\

* $$\sqrt{(3,2)^2}=3,2$$\\

* $$\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}$$\\

* $$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$$\\

* $$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$\\

* $$(\sqrt{5}-3)^2=(\sqrt{5})^2-2\times3\times\sqrt{5}+3^2=5-6\sqrt{5}+9=14-6\sqrt{5}$$\\

* $$(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\times(\sqrt{2})^2=2\sqrt{2}$$

{% file src="<https://1896537372-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lz2TZWUmfmhyXikXcV_%2F-MXBdkp7LC7jwNtT_M7O%2F-MXBezoHn1lcNon7bslH%2FRacine%20carr%C3%A9e.pdf?alt=media&token=9cd18715-54d3-4051-908b-2b98b98b2fed>" %}
Fiche d'exercice "Racine carré"
{% endfile %}
