# 5. Loi normale

## <mark style="color:green;">**Aide-mémoire et exercices**</mark>

{% file src="<https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2FBG8ceqUmIxzzfmyqmX6G%2Fcheat-sheet-lois-de-probabilite%CC%81.pdf?alt=media&token=b25aa4ea-ef5e-4bd6-84b6-254f090258e1>" %}

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## **Introduction : grandeurs et mesures**

Si on regarde :

* **la distribution** des longueurs de brins d'herbe dans une pelouse
* **la distribution** du poids des bûches dans un stère de bois de chauffage de longueur 50 cm
* **la distribution** des contenances de bouteilles d'eau minérale d'un litre au millilitre près

nous allons observer *(sous certaines conditions)* une courbe en cloche :

![cloche.png](https://lh3.googleusercontent.com/OWHACMB8FR22D4BR74a6IkqL0L2Jwpu6MDqNnDuXJoRk66iYA3MODb-JxabIUkBSGVn6pl2q_puO=s300)

Pour modéliser ces phénomènes aléatoires, on a besoin d'utiliser **des variables aléatoires continues**

## **Variables aléatoires continues**

**Définition**

Une variable aléatoire est **continue** si elle prend ses valeurs dans un intervalle $$I=\[a;;;b]$$ de $$\mathbb{R}$$.

**Exemples**

* la mesure de la longueur d'un brin d'herbe dans une pelouse
* la mesure du poids des bûches d'un stère

**Rappel**

Une variable aléatoire est **discrète** si elle prend des valeurs **entières**. Par exemple, lorsque si la variable aléatoire $$X$$ compte le nombre de FACE obtenu lors de 100 lancers d'une pièce de monnaie, alors $$X$$ prend ses valeurs dans $${0;;;1;;;\cdots;;;n}$$.

**Exercice 1 page 357**

**Définition**

On appelle **densité** une fonction définie sur un intervalle $$I=\mathbb{R}$$ telle $$f$$ est

* définie, positive et continue sur $$\mathbb{R}$$
* intégrable sur $$I$$ avec $$\int\_{-\infty}^{+\infty} f(x),\text{d}x=1$$

**Remarques**

* $$\int\_a^{+\infty} f(x),\text{d}x=\lim\_{b\to+\infty}\int\_a^b f(x),\text{d}x$$
* $$\int\_{-\infty}^{b} f(x),\text{d}x=\lim\_{a\to-\infty}\int\_a^b f(x),\text{d}x$$

**Définition**

$$X$$ est une variable **continue à densité** s'il existe une densité $$f$$ telle que :

$$P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\in\[a;;;b])=\int\_a^b f(x),\text{d}x$$

**Remarques**

Dans ce cas :

* $$P(X=a)=P(a\leqslant X\leqslant a)=\int\_a^a f(x),\text{d}x=0$$
* $$P(X\leqslant b)=\int\_{-\infty}^b f(x),\text{d}x$$

**Remarque** : pour une variable aléatoire continue, les inégalités peuvent être stricte ou large, cela ne change pas le résultat.

## **Loi normale**

**Définition : loi normale**

On dit que $$X$$ suit une loi normale d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\sigma$$ si sa densité est :

$$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

On note $$X\sim\mathcal N(\mu;;;\sigma)$$

#### **Exemple #1**

Une usine produit des boulons dont la longueur suit une loi normale d'espérance $$\mu=30,mm$$ et d'écart-type $$\sigma=2,mm$$.

On peut alors calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock, mesure entre $$27, mm$$ et $$31,mm$$ :

$$P(27\leqslant X\leqslant 31)=P(X\in\[27;;;31])\approx0,625$$

**Sur TI 83 :**

![normale-ti-1.png](https://lh3.googleusercontent.com/-kpMlMRjHeXJS8hb62smxPeYR0DdJ7YvnpmrA45SCMpN6-u6dblA1fbKV1FmwZXa35uFzsPmoL0S=s300)

![normale-ti-2.png](https://lh3.googleusercontent.com/Wx4E3LhEgE0OOkNUPUlaJHHtQIH8AF7vKhAM87evWLvI227ggdWLbQOgjxKVd-Jqah29_7yp0Xp6=s300)

**Sur Numworks :**

![normale-numworks-1.png](https://lh3.googleusercontent.com/ucX--__v6PpawwY74RVLHcP4dEqEZgjSja-zG_8QeqCQmLxL_N8pC997xvdu9HrbjoyitQnDVNKJ=s400)

**Avec GeoGebra :**

![normale-geogebra-1.png](https://lh3.googleusercontent.com/PCoYx9df72_CRB50qKQ7zdeUk4Ik8vtENJx8LtGrjtZK1Tt9TbV459FBp89hfH7UHgXeM89URkvT=s500)

**Exercices 5 et 6 page 357**

#### **Exemple #2**

$$X$$ suit suit une loi normale d'espérance $$\mu=50$$ et d'écart-type $$\sigma=5$$.

* Déterminer $$t\_1$$ tel que $$P(X\leqslant t)\approx 0,7$$
* Déterminer $$t\_2$$ tel que $$P(50-t\_2\leqslant X\leqslant 50+t\_2)\approx0,95$$

Pout $$t\_1$$ on trouve par tâtonnement :

![inv-normale.png](https://lh3.googleusercontent.com/hPiPMcBHJtXx72zAV3JNNzTGo9jXi7YcuQDOUnp6cawBbabpEBuv4_oixHuQsLSEZs2XSNQUxbjc=s500)

Ou bien avec la fonction de répartition en réalisant une lecture graphique :

$$\Phi(x)=P(X\leqslant x)$$

![inv-normale-2.png](https://lh3.googleusercontent.com/mmeKpz5TRyljS70k1jsFhaxVY_fQdC7hjpqMguqiJ54sSnn4VC0koQqjgHybbJ7hmggTBf8YwPDg=s500) **À l'aide de la TI :**

![Capturer 3.png](https://lh3.googleusercontent.com/-pJOaV8Al6Ts/XN0rJLSJ6AI/AAAAAAAACb8/0pNSXIUTUYY6hRx--0ttcLQg4wQXfKKuQCLcBGAs/s0/Capturer+3.png)

![Capturer 1.png](https://lh3.googleusercontent.com/-UiDvA0M2OcU/XN0rOcWvWcI/AAAAAAAACcE/PZxNjXKvnUQ7lPianKSSVTZlnrT1j7pRgCLcBGAs/s0/Capturer+1.png)

Pour trouver $$t\_2$$ il faut d'abord remarque que par symétrie de la figure on a

$$P(50-t\_2\leqslant X\leqslant 50+t\_2) = 1-2\times P(X\leqslant 50-t\_2)$$

![symétrie.png](https://lh3.googleusercontent.com/-L5LSTrHqrn8/XN0sDR8xZWI/AAAAAAAACcY/1aGcxd_sfaArUeCsF-nvZxaDvFfrJvwJACLcBGAs/s0/syme%CC%81trie.png)

Reste à résoudre

$$P(50-t\_2\leqslant X\leqslant 50+t\_2)\approx 0,95$$ $$1-2\times P(X\leqslant 50-t\_2)\approx 0,95$$ $$P(X\leqslant 50-t\_2)\approx 0,025$$

![Capturer 2.png](https://lh3.googleusercontent.com/-ema8WHNkskg/XN0tjJ81hpI/AAAAAAAACcw/WvlSlmaVh3sBuGEqLaSBdn3i-G0j3Wr4QCLcBGAs/s0/Capturer+2.png)

On trouve

$$50-t\_2\approx 40\Longleftrightarrow t\_2\approx 10$$

**Exercice 7 page 358**

**Définition : loi normale centrée réduite**

C'est le cas où $$\mu=0$$ (centrée), et $$\sigma=1$$ (réduite). $$X\sim\mathcal N(0;;;1)$$ soit

$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$$

**Exercice 13 page 358**

#### **Règle des trois sigmas**

Si $$X$$ suit une loi normale d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\sigma$$ alors :

* $$P(X\in\[\mu-\sigma;;;\mu+\sigma])\approx0,68$$
* $$P(X\in\[\mu-2\sigma;;;\mu+2\sigma])\approx0,95$$
* $$P(X\in\[\mu-3\sigma;;;\mu+3\sigma])\approx0,99$$

![](https://3280303105-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M1de5GAnD3y-JBfUyPT%2Fuploads%2F6YdqXBW29QjpsLa6cAwd%2Fimage.png?alt=media\&token=5837ab91-d8af-4bea-b06b-e3cea72e261a)

{% hint style="success" %}
[Animation GeoGebra](https://www.geogebra.org/classic/rknpjrap)
{% endhint %}

**Exercices 8 et 9 page 358**

## **D'où vient cette loi ?**

#### **Le théorème de Moivre-Laplace**

[$$\to$$ **La planche de Galton**](https://images.math.cnrs.fr/media/48/video.mp4)

**En math :**

$$\mathcal{B}(n;;;p)\to\mathcal{N}\left(n\times p;;;{\sqrt{n\times p\times (1-p)}}\right)$$ quand $$n$$ tend vers $$+\infty$$

&#x20;$$\mathcal{B}(n;;;p)\to\mathcal{N}\left(\mu;;;\sigma\right)$$avec $$\mu=n\times p$$ et $$\sigma=\sqrt{n\times p\times (1-p)}$$, quand $$n$$ tend vers $$+\infty$$

**En français :**

Quand $$n$$ est grand, on peut "approximer" une loi binomiale par une loi normale.

[$$\diamond$$ **Illustration avec GeoGebra**](https://www.geogebra.org/classic)

**Remarque :** pour obtenir un résultat meilleur, on procède à une **correction de continuité** (cf. exercices)

**Exercices 10 et 11 page 358**

#### **Somme de variables indépendantes**

Si $$X\sim\mathcal{N}\left(\mu\_X;;;{\sigma\_X}\right)$$ et $$Y\sim\mathcal{N}\left(\mu\_Y;;;{\sigma\_Y}\right)$$ avec $$X$$ et $$Y$$ indépendantes alors $$Z=X+Y\sim\mathcal{N}\left(\mu\_Z;;;{\sigma\_Z}\right)$$ avec $$\mu\_Z=\mu\_X+\mu\_Y$$ et $$\sigma\_Z=\sqrt{\sigma\_X^2+\sigma\_Y^2}$$.

**Exemple**

On monte en série deux résistances $$R\_1$$ et $$R\_2$$. La valeur en ohms de la résistance $$R\_1$$ suit une loi normale d'espérance $$180,\Omega$$ et d'écart-type $$5,\Omega$$ et celle de $$R\_2$$ suit une loi normale d'espérance $$150,\Omega$$ et d'écart-type $$10,\Omega$$. La résistance équivalente en ohms du circuit est $$R=R\_1+R\_2$$. Les variables $$R\_1$$ et $$R\_2$$ sont *indépendantes*.

1. On suppose que $$R$$ suit une loi normale. Quels sont ses paramètres ?
2. Calculer la probabilité pour que le circuit ait une résistance supérieure à $$340,\Omega$$.

**Exercice 14 page 359**

#### **Théorème de la limite centrée**

Soit $$X\_1$$, $$X\_2$$, ... , $$X\_n$$, n variables **indépendantes**, chacune d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\sigma$$.

* Alors $$S\_n=X\_1+X\_2+\cdots+X\_n$$ suit approximativement une loi normale d'espérance $$n\times\mu$$ et d'écart-type $$\sqrt{n}\times\sigma$$
* Alors $$Y\_n=\dfrac{X\_1+X\_2+\cdots+X\_n}{n}$$ suit approximativement une loi normale d'espérance $$\mu$$ et d'écart-type $$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

{% embed url="<https://www.geogebra.org/classic/bxwjguxc>" %}
Animation GeoGebra - Théorème central limite
{% endembed %}

{% hint style="success" %}
[**Lien vers l'animation GeoGebra**](https://www.geogebra.org/classic/bxwjguxc)
{% endhint %}

**Exemple**

La variable aléatoire $$X$$ mesurant la longueur de pièces métalliques suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,02. On note $$\overline{X}$$ la variable qui, à tout échantillon de 400 pièces pris dans le lot, associe la longueur moyenne des pièces du lot.

Quelle est la loi de probabilité de $$\overline{X}$$ ?

**Exercices 15 et 16 page 360-361**
